[논문 리뷰] Eigenvarieties for classical groups and complex conjugations in Galois representations

Olivier Taïbi|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 25인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 토탈 리얼 체 위에서 정규적이고, 대수적이고, 본질적으로 자기수반인, 극대형 모듈라 자동형 양식 GL_{2n+1}과 GL_{2n}에 대응하는 p-진 갈루아 표현에서 리처드 테일러의 정리에 대한 불가약성 가정을 제거한다. 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군에 대한 고유다양체 위에서 p-진 변형 이론을 적용하고 아르틴의 엔도스코픽 분류를 활용하여, 이러한 표현들에 대해 갈루아 표현에서 복소수 켤리지의 추적은 |Tr(ρ(c))| ≤ 1를 만족하며, 등호는 특정한 경우에만 성립함을 증명한다. 이는 기존 결과를 불가약한 표현으로까지 확장한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to remove the irreducibility hypothesis in a theorem of Richard Taylor describing the image of complex conjugations by $p$-adic Galois representations associated with regular, algebraic, essentially self-dual, cuspidal automorphic representations of $\\GL_{2n+1}$ over a totally real number field $F$. We also extend it to the case of representations of $\\GL_{2n}/F$ whose multiplicative character is "odd". We use a $p$-adic deformation argument, more precisely we prove that on the eigenvarieties for symplectic and even orthogonal groups, there are "many" points corresponding to (quasi-)irreducible Galois representations. The recent work of James Arthur describing the automorphic spectrum for these groups is used to define these Galois representations, and also to transfer self-dual automorphic representations of the general linear group to these classical groups.

연구 동기 및 목표

• 토털 리얼 체 위에서 정규적이고, 대수적이며, 본질적으로 자기수반인 극대형 자동형 양식 GL_{2n+1}에 대응하는 p-진 갈루아 표현에서 리처드 테일러의 정리에 대한 불가약성 가정을 제거하는 것.
• GL_{2n}/F의 표현에 대해 '홀수' 승법적 특성자를 갖는 경우를 포함하여, 불가약성이 보장되지 않는 경우에도 결과를 확장하는 것.
• 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군에 대한 고유다양체에서 p-진 변형 기법을 사용하여 (준)불가약한 갈루아 표현에 대응하는 '다수의' 점이 존재함을 보이는 것.
• 클래식 군의 자동형 스펙트럼에 대한 아르틴의 최신 연구를 활용하여 GL_N에서 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군으로 갈루아 표현을 정의하고 전이하는 것.

제안 방법

• p-진 자동형 형식과 아틀킨-레너 대수를 사용하여 정적 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군에 대한 고유다양체를 구성하는 것.
• 작은 기울기의 p-진 고유형이 고전적임을 증명하고, 고유다양체의 대부분의 점이 무분할이고 완전히 정규화 가능한 표현에서 유래됨을 보이는 것.
• 아르틴의 이산 스펙트럼술을 활용하여 고유다양체 위에서 갈루아 표현을 정의하며, 특히 GL_{2n+1}과 GL_{2n}의 자기수반 표현에 초점을 맞추는 것.
• 고유다양체 위에 갈루아 준특성함수를 수립하고, 이에 대응하는 갈루아 표현이 일반적으로 거의 불가약함을 보이는 것.
• p-진 변형 추론을 적용하여 결정적 표현이 고유다양체 위에서 연속적으로 변함을 보이고, 이는 복소수 켤리지의 상황을 제어할 수 있도록 하는 것.
• 기저 체 변경과 유도를 통해 아이와호리 불변량을 갖는 경우로 축소하고, 랑글랜즈 매개변수를 통한 추적 한계에 대한 기존 결과를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테일러의 정리에서 p-진 갈루아 표현의 복소수 켤리지 추적에 대한 불가약성 가정을 제거할 수 있는가?
• RQ2 불가약성이 보장되지 않는 경우, 정규적이고, 대수적이며, 본질적으로 자기수반인 극대형 자동형 양식 GL_{2n}/F에 대응하는 갈루아 표현에서 복소수 켤리지의 상황은 어떠한가?
• RQ3 클래식 군에 대한 고유다양체는 갈루아 표현의 변동성과 복소수 켤리지의 추적을 어떻게 연구하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 아르틴의 엔도스코픽 분류를 얼마나 활용하여 GL_N에서 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군으로 갈루아 표현을 전이할 수 있는가?
• RQ5 이러한 갈루아 표현에서 복소수 켤리지의 추적이 |Tr(ρ(c))| ≤ 1를 만족하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 정규적이고, 대수적이며, 본질적으로 자기수반인 극대형 표현 GL_{2n+1}/F에 대해, 관련된 p-진 갈루아 표현에서 복소수 켤리지의 추적이 |Tr(ρ(c))| ≤ 1임을 증명한다. 불가약성 가정 없이도 성립한다.
• GL_{2n}/F에 대해 '홀수' 승법적 특성자를 갖는 경우, 적절한 정규성 및 자기수반 조건 하에서 동일한 추적 한계 |Tr(ρ(c))| ≤ 1가 성립한다.
• GL_{2n}/F에서 η_∞(−1) = 1 이고 랑글랜즈 매개변수 형태가 ∑ Ind_{W_R}^{W_C}(z ↦ (z/̄z)^{r_i}) 인 경우, 복소수 켤리지의 추적은 정확히 0이다.
• 심플렉틱 및 짝수 올리고나릭 군에 대한 고유다양체는 p-진 변형 기법을 통해 (준)불가약한 갈루아 표현에 대응하는 '다수의' 점을 포함한다.
• 이러한 고유다양체에서 자동형 형식에 대응하는 갈루아 표현은 일반적으로 거의 불가약하며, 결정적 프로베니우스는 연속적으로 변하며 이는 추적 제어를 가능하게 한다.
• 기저 체 변경을 통해 가역적 확장로의 비정규적 경우로 결과를 확장하였으며, 이 경우 기저 변경된 표현은 아이와호리 불변량을 확보하게 되어 주요 정리의 적용이 가능해진다.