[논문 리뷰] Einstein-Maxwell and Einstein-Proca theory from a modified gravitational action

Dan N. Vollick|ArXiv.org|2006. 01. 04.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $ 항을 포함하는 수정된 중력 작용을 통해 아인슈타인-프로카 및 아인슈타인-맥스웰 방정식을 유도한다. 여기서 $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma_\nu - \partial\nu \Gamma_\mu $ 이고, $ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ 는 $ U(1) $ 게이지 장처럼 변환된다. 주요 결과는 결합 상수 $ \beta = -3/(4\kappa) $ 를 특정하게 선택할 경우 기하학적 스칼라 밀도 $ g^{-ie/2} $ 를 통해 질량이 있는 및 질량이 없는 벡터 장이 팔라티니 형식론 내에서 통합된다는 것이다.

ABSTRACT

A modified gravitational action is considered which involves the quantity $F_{μν}=\partial_μΓ_ν-\partial_νΓ_μ$, where $Γ_μ=Γ^α_{μα}$. Since $Γ_μ$ transforms like a U(1) gauge field under coordinate transformations terms such as $F^{μν}F_{μν}$ are invariant under coordinate transformations. If such a term is added to the usual gravitational action the resulting field equations, obtained from a Palatini variation, are the Einstein-Proca equations. The vector field can be coupled to point charges or to a complex scalar density of weight $ie$, where $e$ is the charge of the field. If this scalar density is taken to be $g^{-ie/2}$ and the overall factor of the scalar density Lagrangian takes on a particular value the resulting field equations are the Einstein-Maxwell equations.

연구 동기 및 목표

• 수정된 중력 작용을 통해 일반 상대성 이론의 기하학적 프레임워크 내에서 질량이 있는 및 질량이 없는 벡터 장을 통합하는 것.
• 좌표 변환에 대해 $ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ 가 $ U(1) $ 게이지 장처럼 변환됨을 보여주어 게이지 불변의 장 강도 $ F_{\mu\nu} $ 를 가능하게 하는 것.
• Palatini 변분을 통해 $ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $ 를 포함하는 중력 작용의 변분을 통해 아인슈타인-프로카 방정식을 도출하는 것.
• 복소 스칼라 밀도 $ \phi $ 를 $ ie $ 의 가중치로 결합할 때, 특히 $ g^{-ie/2} $ 를 사용하면 $ \beta = -3/(4\kappa) $ 일 때 아인슈타인-맥스웰 방정식을 유도할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 수정된 중력 작용 $ S = \int \left[ -\frac{1}{2\kappa}R - \frac{\alpha}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + L_M \right] \sqrt{g} \, d^4x $ 를 도입하며, 여기서 $ F_{\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma_\nu - \partial_\nu \Gamma_\mu $ 이다.
• 메트릭 $ g_{\mu\nu} $ 와 접속 $ \Gamma^\alpha_{\mu\nu} $ 를 독립 변수로 간주하여 Palatini 변분을 적용해 장 방정식을 유도한다.
• $ \Gamma_\mu $ 가 좌표 변환에 대해 $ U(1) $ 게이지 장처럼 변환됨을 보여주어 $ F_{\mu\nu} $ 가 텐서가 되고, 게이지 불변의 항들이 가능해지는 것을 보여준다.
• 벡터 장 $ V_\mu $ 를 점 전하에 의해 전류 $ J^\mu $ 를 통해 결합시키며, $ ie $ 의 가중치를 가진 복소 스칼라 밀도 $ \phi $ 와도 결합한다. 여기서 $ \phi = g^{-ie/2} $ 이다.
• 접속 변분을 통해 $ V_\mu $ 의 프로카 방정식을 유도하고, $ \beta = -3/(4\kappa) $ 일 때 스칼라 밀도 라그랑지안이 아인슈타인-맥스웰 방정식을 유도함을 보여준다.
• 전류 보존 $ \tilde{\nabla}_\mu J^\mu = 0 $ 과 접속 변분의 추적 없음(traceless) 성질을 검증하여, Palatini 형식론과의 일致성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 중력 작용에 $ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} $ 를 포함하고 $ \Gamma_\mu = \Gamma^\alpha_{\mu\alpha} $ 를 사용할 때 아인슈타인-프로카 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 장 $ \Gamma_\mu $ 는 좌표 변환에 대해 $ U(1) $ 게이지 장처럼 변환되는가? 그리고 그러한 변환 하에서 $ F_{\mu\nu} $ 는 텐서인가?
• RQ3 특히 $ g^{-ie/2} $ 를 포함한 복소 스칼라 밀도 $ ie $ 의 가중치를 가진 장이 벡터 장과 결합될 때 아인슈타인-맥스웰 방정식을 재현할 수 있는가?
• RQ4 스칼라 밀도 라그랑지안의 결합 상수 $ \beta $ 가 어떤 값일 때 질량 없는 극한과 아인슈타인-맥스웰 방정식이 유도되는가?
• RQ5 점 전하 소스의 포함이 이 기하학적 프레임워크 내에서 유도되는 장 방정식에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수정된 작용의 Palatini 변분을 통해 유도된 장 방정식은 아인슈타인-프로카 방정식이며, $ V_\mu $ 는 프로카 방정식 $ \tilde{\nabla}_\beta F^{\beta\mu} = \frac{3}{2\alpha\kappa} V^\mu + J^\mu $ 를 만족한다.
• 벡터 장 $ V_\mu $ 는 전류 $ J^\mu $ 를 통해 점 전하에 의해 소스화되며, 전류 보존 $ \tilde{\nabla}_\mu J^\mu = 0 $ 이 성립한다.
• 복소 스칼라 밀도 $ \phi $ 를 $ ie $ 의 가중치로 결합할 경우, 장 방정식은 질량이 있는 벡터 장 $ V_\mu $ 와 복소 스칼라 장 $ \phi $ 가 일반 상대성 이론에 최소 결합된 형태로 축소된다.
• 기하학적 스칼라 밀도 $ g^{-ie/2} $ 에 대해 라그랑지안 $ L = -\frac{1}{4}\beta \sqrt{g} g^{-2} \nabla_\mu g \nabla^\mu g $ 는 $ \beta = -3/(4\kappa) $ 일 때 아인슈타인-맥스웰 방정식을 유도한다.
• 벡터 장 방정식은 $ \tilde{\nabla}_\beta F^{\beta\mu} = \left[ \frac{3}{2\alpha\kappa} + \frac{2\beta}{\alpha} \right] V^\mu $ 가 되며, $ \beta = -3/(4\kappa) $ 를 설정하면 질량 항이 사라져 맥스웰 장 방정식이 된다.
• 접속 변분의 추적이 0이 되어 해에 네 개의 임의 함수가 존재함을 보여주며, 이는 Palatini 형식론에서 기인하는 과소정의 시스템과 일致한다.