[논문 리뷰] Einstein relation and linear response in one-dimensional Mott variable-range hopping

Alessandra Faggionato, Nina Gantert외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 31.

Random Matrices and Applications참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 외부 전압이 가해진 1차원 Mott 변수 범위 터널에서 선형 반응과 아인슈타인 관계를 수립하며, 입자에서 관측한 환경의 평형 분포가 영 전압에서 미분 가능하다는 것을 증명한다. 평형 측도에 대한 편향된 평형 상태의 Radon-Nikodym 도함수에 대한 $L^p$-유계성($p>2$)을 이용하여, 섭동 이론이나 再생 시간을 사용하지 않고 선형 반응과 아인슈타인 관계를 유도함으로써, 불순물이 존재하는 운반체 시스템에 대한 새로운 분석적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We consider one-dimensional Mott variable-range hopping with a bias, and prove the linear response as well as the Einstein relation, under an assumption on the exponential moments of the distances between neighboring points. In a previous paper \cite{FGS} we gave conditions on ballisticity, and proved that in the ballistic case the environment viewed from the particle approaches, for almost any initial environment, a given steady state which is absolutely continuous with respect to the original law of the environment. Here, we show that this bias--dependent steady state has a derivative at zero in terms of the bias (linear response), and use this result to get the Einstein relation. Our approach is new: instead of using e.g. perturbation theory or regeneration times, we show that the Radon-Nikodym derivative of the bias--dependent steady state with respect to the equilibrium state in the unbiased case satisfies an $L^p$-bound, $p>2$, uniformly for small bias. This $L^p$-bound yields, by a general argument not involving our specific model, the statement about the linear response.

연구 동기 및 목표

• 외부 전압이 가해진 1차원 Mott 변수 범위 터널에서 선형 반응과 아인슈타인 관계를 수립하는 것.
• 입자에서 관측한 환경의 편향에 의존하는 평형 상태가 영 전압에서 미분 가능하다는 것을 분석하는 것.
• 편향된 평형 상태의 Radon-Nikodym 도함수에 대한 $L^p$-유계성($p>2$)을 기반으로 한 새로운 분석 방법을 개발하는 것.
• 전통적인 도구인 섭동 이론이나 재생 시간을 피함으로써, 불순물이 존재하는 시스템에 일반적이고 강건한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 편향이 없는 경우의 평형 상태에 대한 편향된 평형 상태의 Radon-Nikodym 도함수에 대한 $L^p$-유계성($p>2$)을 유도하는 것.
• $L^p$-유계성을 이용해 특정 모델에 종속되지 않는 일반적 논증을 통해 선형 반응을 유추하는 것.
• 환경 측도와 입자의 위치를 포함하는 커플링 논증을 사용하며, 불순물 간 거리의 모멘트 조건을 활용하는 것.
• 횔더 부등식과 지수 모멘트 가정을 적용하여 환경의 점프 비율 꼬리 행동을 제어하는 것.
• $L^2$-공간에서의 약한 수렴과 카쿠타니의 정리를 이용해 평형 상태 밀도가 평형 측도로 수렴함을 증명하는 것.
• 작은 편향에 대해 $L^p$-유계성이 균일하게 유지되도록 하기 위해 환경에 필요한 모멘트 조건($e.g., {\mathbb{E}}[e^{pZ_0}] < \infty$)을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차원 Mott 변수 범위 터널에서 입자에서 관측한 환경의 평형 분포가 영 전압에서 미분 가능할까?
• RQ2 섭동 이론이나 재생 시간을 사용하지 않고, 작은 편향에 대한 시스템의 선형 반응을 엄밀하게 유도할 수 있을까?
• RQ3 주어진 모멘트 조건 하에서 이 불순물이 존재하는 장거리 터널 모델에서 아인슈타인 관계가 성립할까?
• RQ4 Radon-Nikodym 도함수에 대한 $L^p$-유계성이 선형 반응을 유도하는 데 어떤 역할을 할까?
• RQ5 불순물 간 거리에 대한 지수 모멘트 조건이 선형 반응과 아인슈타인 관계의 타당성에 어떤 영향을 미칠까?

주요 결과

• 입자에서 관측한 환경의 편향에 의존하는 평형 상태는 영 전압에서 미분 가능하며, 이는 선형 반응 성질을 확인한다.
• 편향된 평형 상태의 평형 측도에 대한 Radon-Nikodym 도함수는 $p>2$에 대해 $L^p$-유계성을 만족하며, 작은 편향에 대해 균일하게 유지된다.
• 이 $L^p$-유계성은 특정 동역학에 종속되지 않는 일반적 논증을 통해 선형 반응을 암시한다.
• 모멘트 조건 $\mathbb{E}[e^{(\lambda_0+4\delta)Z_{-1}+3\delta Z_0}] < \infty$ 및 $\mathbb{E}[e^{pZ_0}] < \infty$ 하에서 1차원 Mott 변수 범위 터널 모델에서 아인슈타인 관계가 성립한다.
• 기존의 도구인 재생 시간이나 섭동 이론을 피함으로써, 불순물이 존재하는 시스템에서 선형 반응을 위한 새로운 접근법을 제공한다.
• 주어진 모멘트 조건 하에서 결과는 강건하며, 이는 입자의 운동에 따른 환경 측도 수렴을 보장한다.