[논문 리뷰] Einstein Relation for Nonequilibrium Steady States

T. Hanney, M. R. Evans|arXiv (Cornell University)|2002. 11. 05.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평형 상태에서 확산과 이동도 사이의 관계를 정의하는 아인슈타인 관계를, 확률적 격자 모델의 비평형 정 steady 상태로 일반화한다. 입자 생성/소멸을 유도하는 외란을 도입하여, 비대칭 단순 배제 과정(ASEP) 및 구동된 디머 모델과 같은 시스템에 대해 일반화된 아인슈타인 관계를 유도한다. 이 과정에서 세부 균형이 위반되더라도 확산 계수는 이러한 외란 하에서 전류의 선형 반응에 비례함을 보여주며, 이는 비평형 상태에서도 아인슈타인 관계의 형태 유지 가능함을 시사한다.

ABSTRACT

The Einstein relation, relating the steady state fluctuation properties to the linear response to a perturbation, is considered for steady states of stochastic models with a finite state space. We show how an Einstein relation always holds if the steady state satisfies detailed balance. More generally, we consider nonequilibrium steady states where detailed balance does not hold and show how a generalisation of the Einstein relation may be derived in certain cases. In particular, for the asymmetric simple exclusion process and a driven diffusive dimer model, the external perturbation creates and annihilates particles thus breaking the particle conservation of the unperturbed model.

연구 동기 및 목표

• 평형 상태에서 유효한 아인슈타인 관계를 세부 균형 조건을 초월하여 비평형 정 steady 상태로 확장하고자 한다.
• 구동된 확률적 격자 모델에서 아인슈타인 관계와 유사한 변동-반응 관계가 성립하는지 조사하고자 한다.
• 세부 균형이 없는 시스템에서 일반화된 아인슈타인 관계를 도출할 수 있는 조건을 규명하고자 한다.
• 입자 수가 외란 하에서 보존되지 않는 특정 모델들, 예를 들어 ASEP 및 구동된 디머 확산 모델을 분석하고자 한다.
• 비평형 환경에서 확산 계수와 외부 외란에 대한 전류 반응 간의 공식적 연결 고리를 수립하고자 한다.

제안 방법

• 유한 상태 공간에서의 확률적 동역학을 기술하기 위해 마스터 방정식 프레임워크를 사용한다.
• 시간에 따라 선형적으로 증가하는 평균과 분산을 가지는 누적 전류 유사 관측량 $Y_t$ 를 정의한다.
• 이산적 구성 상태를 가진 시스템에 대해 데라사의 접근 방식을 사용하여 전류 $J$ 와 확산 계수 $\Delta$ 의 표현식을 유도한다.
• 입자를 생성하고 소멸시키는 외란을 도입하여, 원래의 동역학에서 입자 수 보존이 깨지도록 한다.
• 외란에 대한 평형 확률의 변화를 연결하기 위해 반응 함수 $r(\mathcal{C})$ 를 적용하며, 이는 균형 조건을 만족한다.
• 확산 계수 $\Delta$ 와 전류의 반응 간의 일반화된 아인슈타인 관계 $\Delta = \text{반응 항} \times \text{전류}$ 를 수립하며, 이때 비례 상수 $\Omega$ 는 분할 함수로부터 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세부 균형이 성립하지 않는 비평형 정 steady 상태로 아인슈타인 관계를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 어떤 유형의 외란이 비평형 시스템에서 변동-반응 관계를 유지할 수 있는가?
• RQ3 입자 수가 보존되지 않는 ASEP와 같은 모델에서 표준 아인슈타인 관계 $\mu = \beta \Delta$ 가 유지되는가?
• RQ4 경계에서 구동되는 시스템에서 관계 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 모든 구성 상태가 입자 부문 내에서 동일하게 확률을 가지는 모델에서 아인슈타인 관계를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 세부 균형을 만족하는 모든 정 steady 상태에서, 이동 동역학에 영향을 주는 외란을 사용하여 아인슈타인 관계가 성립한다.
• 비대칭 단순 배제 과정(ASEP)에서는 입자를 생성하고 소멸시키는 외란을 사용하여 일반화된 아인슈타인 관계를 도출하였으며, $\Omega = \Lambda_N Z_{N,M}^{-2}$ 로 주어진다.
• 구동된 디머 확산 모델에서는 동일한 외란 체계 하에서 동일한 일반화된 아인슈타인 관계가 성립하며, $\Omega = \Lambda_N Z_{N-1,M-1}^{-1} Z_{N,M}^{-1}$ 로 주어진다.
• 경계에서 구동되는 ASEP에서 $\alpha + \beta = 1$ 선 상에서 관계 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$ 가 확립되었으며, 이는 확산과 전류 반응을 연결한다.
• 유도 과정은 각 입자 부문 내에서 모든 구성 상태가 동일하게 확률을 가지는 것으로 가정하며, 이는 반응 함수 $r(\mathcal{C})$ 를 단순화한다.
• 본 연구는 아인슈타인 관계가 평형 상태를 초월하여 일반화될 수 있음을 보여주지만, 이는 구성 상태가 각 입자 부문 내에서 균일한 특성과 같은 특정 구조적 조건을 만족할 때에만 가능하다.