[논문 리뷰] Ekedahl-Oort strata for good reductions of Shimura varieties of Hodge type

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $p > 2$ 인 소수에서 Hodge 유형의 슈비라 다양체의 양호한 줄기에서 Ekedahl-Oort 계층을 수립하고 연구한다. $¯{G}$-zip을 사용하여 계층을 외면군의 원소로 매개변수화하며, 각 비어 있지 않은 계층이 해당 외면군 원소의 길이와 같은 차원을 가지며, 스무스임을 증명한다. 또한 계층의 폐쇄 관계는 외면군 위의 조합적 부분순서를 통해 완전히 기술된다.

ABSTRACT

For a Shimura variety of Hodge type with hyperspecial level structure at a prime $p$, Vasiu and Kisin constructed a smooth integral model (namely the integral canonical model) uniquely determined by a certain extension property. We define and study the Ekedahl-Oort stratifications on the special fibers of those integral canonical models when $p>2$. This generalizes Ekedahl-Oort stratifications defined and studied by Oort on moduli spaces of principally polarized abelian varieties and those defined and studied by Moonen, Wedhorn and Viehmann on good reductions of Shimura varieties of PEL type. We show that the Ekedahl-Oort strata are parameterized by certain elements $w$ in the Weyl group of the reductive group in the Shimura datum. We prove that the stratum corresponding to $w$ is smooth of dimension $l(w)$ (i.e. the length of $w$) if it is non-empty. We also determine the closure of each stratum.

연구 동기 및 목표

• PEL 유형 및 시겔 유형의 슈비라 다양체에서 Ekedahl-Oort 계층 분할을 Hodge 유형의 슈비라 다양체로 일반화하기 위해.
• Hodge 유형의 슈비라 다양체의 정수 통합 모델의 특수 섹션에서 $p > 2$ 에서 Ekedahl-Oort 계층을 정의하고 연구하기 위해.
• 슈비라 자료에 포함된 재구성군의 외면군 원소를 사용하여 계층을 매개변수화하기 위해.
• 계층의 차원 공식과 폐쇄 관계를 수립하여, 비어 있지 않은 계층이 스무스임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스푸르스틱 임bedding과 슈비라 자료의 축소를 통해 특수 섹션 $\mathscr{S}_0$ 위에 타입 $\mu$ 의 $\overline{G}$-zip을 구성한다.
• $\overline{G}$-zip에 의해 유도되는 사상 $\zeta: \mathscr{S}_0 \to \overline{G}\texttt{-}\mathtt{Zip}_\kappa^\mu$ 를 사용하여, $\overline{\mathbb{F}}_p$-점들의 역상으로 Ekedahl-Oort 계층을 정의한다.
• $\zeta$ 가 스무스임을 증명함으로써, 계층이 국소적으로 닫혀 있고, 비어 있지 않은 경우 스무스임을 보장한다.
• 계층을 슈비라 자료에 관련된 파리보릭 부분군 $P_+$에 대한 외면군 $W$의 코스레프레젠테이티브 $^JW$ 의 원소 $w$ 로 매개변수화하며, 비어 있지 않은 계층에 대해 $\dim \mathscr{S}^w_0 = \ell(w)$ 를 만족한다.
• ${}^JW$ 위의 부분순서 $\preceq$ 의 조합론을 사용하여, 각 계층의 자리즈 폐쇄를 더 작은 또는 같은 차원을 가진 모든 계층의 합집합으로 기술한다.
• 논문 [32] 의 결과를 적용하여 $\mathrm{CSpin}$-다양체에 대해 $({}^JW, \preceq)$ 의 구조를 계산하며, 문제를 알려진 외면군 계산으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $p > 2$ 에서 Hodge 유형의 슈비라 다양체의 양호한 줄기에서 Ekedahl-Oort 계층을 정의하고 연구할 수 있는가?
• RQ2 이 설정에서 Ekedahl-Oort 계층의 매개변수 공간은 무엇이며, 슈비라 자료의 재구성군의 외면군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 각 Ekedahl-Oort 계층의 차원은 무엇이며, 언제 비어 있지 않은가?
• RQ4 계층의 폐쇄는 외면군 위의 부분순서에 대해 어떻게 위상적으로 기술되는가?
• RQ5 $\mathrm{CSpin}$-슈비라 다양체의 Ekedahl-Oort 계층 분할의 구조는 무엇이며, $n$ 이 홀수일 때와 짝수일 때 어떻게 다를까?

주요 결과

• 특수 섹션 $\mathscr{S}_0$ 상의 Ekedahl-Oort 계층은 슈비라 자료의 코캐릭터 $\mu$ 와 관련된 파리보릭 부분군 $P_+$ 에 대한 외면군 $W$ 의 최소 코스레프레젠테이티브 집합 ${}^JW$ 의 원소 $w$ 로 매개변수화된다.
• 비어 있지 않은 각 Ekedahl-Oort 계층 $\mathscr{S}^w_0$ 는 외면군 원소 $w$ 의 길이 $\ell(w)$ 와 같은 차원을 가지며, 스무스이다.
• 계층 $\mathscr{S}^w_0$ 의 자리즈 폐쇄는 ${}^JW$ 위의 부분순서에서 $w' \preceq w$ 인 모든 계층 $\mathscr{S}^{w'}_0$ 의 합집합이며, 이는 차원이 $\leq \dim \mathscr{S}^w_0$ 인 모든 계층의 합집합과 같다.
• 열린 밀도 계층(일반 계층)이 유일하고, 최대 하나의 0차원 계층(초특수 계층)이 존재하며, 주어진 조건 하에 이들은 모두 유일하다.
• $\mathrm{CSpin}$-슈비라 다양체의 경우, $n$ 이 홀수이면, $0 \leq i \leq n$ 에 대해 각 차원 $i$ 에 대해 유일한 계층이 존재하며, 계층은 차원에 따라 완전히 순서가 매겨진다.
• $n$ 이 짝수이면서 양수이면, 차원 $i \neq n/2$ 에 대해 유일한 계층이 존재하며, 차원 $n/2$ 에 대해 최대 두 개의 계층이 존재하며, 전체 계층 분할은 ${}^JW$ 위의 부분순서에 의해 기술된다.