[논문 리뷰] Elastic-Degenerate String Matching via Fast Matrix Multiplication

Giulia Bernardini, Paweł Gawrychowski외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 06.

Algorithms and Data Compression인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 탄성-불확실 문자열 매칭(EDSM)을 위한 조합적 방법이 아닌 알고리즘을 제안하며, 시간 복잡도 Õ(nm^{ω−1} + N)을 달성한다. 여기서 ω < 2.373이며, 이는 이전의 조합적 하한을 뛰어넘는 결과이다. 빠른 행렬 곱셈, 문자열 주기성, FFT 기반 기법을 조합함으로써 지수를 1.5에서 약 1.373으로 낮추어, 행렬 곱셈 지수 가정 하에 이전 결과보다 크게 향상시켰다.

ABSTRACT

An elastic-degenerate (ED) string is a sequence of $n$ sets of strings of total length $N$, which was recently proposed to model a set of similar sequences. The ED string matching (EDSM) problem is to find all occurrences of a pattern of length $m$ in an ED text. An $O(nm^{1.5}\\sqrt{\\log m}+N)$-time algorithm for EDSM is known [Aoyama et al., CPM 2018]. The standard assumption in the prior work on this question is that $N$ is substantially larger than both $n$ and $m$, and thus we would like to have a linear dependency on the former. Under this assumption, the natural open problem is whether we can decrease the 1.5 exponent in the time complexity, similarly as in the related (but, to the best of our knowledge, not equivalent) word break problem [Backurs and Indyk, FOCS 2016]. Our starting point is a conditional lower bound for EDSM. We use the popular combinatorial Boolean Matrix Multiplication (BMM) conjecture stating that there is no truly subcubic combinatorial algorithm for BMM [Abboud and Williams, FOCS 2014]. By designing an appropriate reduction we show that a combinatorial algorithm solving the EDSM problem in $O(nm^{1.5-e}+N)$ time, for any $e&gt;0$, refutes this conjecture. Our reduction should be understood as an indication that decreasing the exponent requires fast matrix multiplication. String periodicity and fast Fourier transform are two standard tools in string algorithms. Our main technical contribution is that we successfully combine these tools with fast matrix multiplication to design a non-combinatorial $\ ilde{O}(nm^{\\omega-1}+N)$-time algorithm for EDSM, where $\\omega$ denotes the matrix multiplication exponent. To the best of our knowledge, we are the first to combine these tools. In particular, using the fact that $\\omega&lt;2.373$ [Le Gall, ISSAC 2014; Williams, STOC 2012], we obtain an $O(nm^{1.373}+N)$-time algorithm for EDSM.

연구 동기 및 목표

• 표준 가정 N ≫ n 하에 탄성-불확실 문자열 매칭(EDSM)의 시간 복잡도를 O(nm^{1.5}) 이하로 낮추는 열린 문제를 해결하기 위해.
• EDSM에 대해 O(nm^{1.5−ε} + N) 시간 내에 작동하는 모든 조합적 알고리즘이 조합적 부울 행렬 곱셈(BMM) 추측을 반박하게 되는 조건부 하한을 설정하기 위해.
• 빠른 행렬 곱셈, 문자열 주기성, 다항식 곱셈을 활용한 비조합적 알고리즘을 설계하여 시간 복잡도의 지수를 1.5 이하로 낮추기 위해.
• ED 텍스트의 모든 문자열이 패턴으로부터 적어도 하나의 앵커를 포함하지만 너무 많은 앵커를 포함하지 않도록 보장하는 새로운 앵커 선택 기법을 도입하여, 효율적인 분해와 행렬 기반 처리를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 EDSM 문제를 새로운 감소 기법을 통해 부울 행렬 곱셈으로 환원하며, O(nm^{1.5−ε} + N) 시간 복잡도를 가지는 조합적 알고리즘이 존재할 경우 조합적 BMM 추측을 반박하게 된다는 것을 보여준다.
• 패턴에서 길이-ℓ 부분문자열(앵커)의 작은 집합을 선택하는 방법을 제안하여, ED 텍스트 집합에 속한 모든 문자열이 적어도 하나의 앵커를 포함하도록 하여 매칭 과정의 효율적 분해를 가능하게 한다.
• 알고리즘은 다항식 곱셈을 고려한 링 위에서 구현하여 문자열 조각을 표현하고 결합하며, 계수는 유효한 매칭을 추적하고, 빠른 행렬 곱셈을 적용하여 계산을 가속화한다.
• 이 방법은 앵커를 기준으로 패턴을 세그먼트로 분할하고, 패턴 부분문자열과 텍스트 집합 간의 겹침을 행렬 곱셈을 통해 계산하며, 불확실 문자열의 구조를 활용한다.
• 문자열 주기성과 빠른 푸리에 변환(FFT) 기법을 조합하여 다항식 곱을 효율적으로 계산함으로써, 비용이 많이 드는 연산의 수를 줄인다.
• 최종 알고리즘은 Õ(nm^{ω−1} + N) 시간 내에 실행되며, 여기서 ω는 행렬 곱셈 지수이며, 최고의 알려진 bound ω < 2.373를 사용하여 O(nm^{1.373} + N) 시간 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비조합적 기법을 사용하여 탄성-불확실 문자열 매칭의 시간 복잡도를 O(nm^{1.5}) 이하로 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 EDSM에 대해 O(nm^{1.5−ε} + N) 시간 복잡도를 가지는 조합적 알고리즘이 존재할 경우, 이를 막는 조건부 하한이 존재하는가?
• RQ3 빠른 행렬 곱셈을 문자열 주기성과 FFT를 활용한 다항식 곱셈과 효과적으로 융합하여 EDSM 문제를 더 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 앵커 선택의 역할은 불확실 문자열에서 효율적인 분해와 행렬 기반 매칭을 가능하게 하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 다항식 곱셈과 행렬 지수화의 사용이 이전 방법보다 증명 가능하게 더 빠른 알고리즘을 도출하는가?

주요 결과

• 논문은 조건부 하한을 설정한다: ε > 0 인 경우 O(nm^{1.5−ε} + N) 시간 내에 EDSM을 해결하는 모든 조합적 알고리즘은 조합적 부울 행렬 곱셈(BMM) 추측을 반박하게 된다.
• 저자들은 Õ(nm^{ω−1} + N) 시간 내에 실행되는 비조합적 알고리즘을 제안하며, 여기서 ω는 행렬 곱셈 지수를 의미한다. 이는 이전의 조합적 복잡도 장벽을 뛰어넘는 결과이다.
• 최고의 알려진 bound ω < 2.373를 사용함으로써, 알고리즘은 O(nm^{1.373} + N) 시간 복잡도를 달성하며, 이는 이전의 O(nm^{1.5}√log m + N) 결과보다 크게 향상되었다.
• 핵심 기술적 혁신은 ED 텍스트에 속한 모든 문자열이 패턴에서 적어도 하나의 앵커를 포함하지만 너무 많은 앵커를 포함하지 않도록 보장하는 새로운 앵커 선택 방법이며, 이는 효율적인 분해와 행렬 기반 처리를 가능하게 한다.
• 알고리즘은 빠른 행렬 곱셈, 문자열 주기성, FFT 기반 다항식 곱셈을 성공적으로 융합하였으며, 이 조합은 EDSM에서 처음으로 사용된 것이다.
• 결과적으로, EDSM 시간 복잡도의 지수를 1.5 이하로 낮추기 위해서는 단순히 조합적 기법을 넘어서 빠른 행렬 곱셈이 필요하다는 것이 입증되었다.