[논문 리뷰] Electrode modelling: The effect of contact impedance

Stratos Staboulis, Jérémi Dardé|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 15.

Electrical and Bioimpedance Tomography참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 접촉 임피던스가 0에 수렴할 때 전기 임피던스 단층촬영(EIT)에서 완전 전극 모델(CEM)이 쇄선 모델(SM)으로 수렴하는 것에 대해 엄밀히 분석한다. 접촉 임피던스에 대한 전극 전압 측정 오차는 거의 선형적(O(z^s), s < 1)이며, 공간 전위 오차는 O(z^s), s < 1/2이다. 유한요소 근사에서는 정규성의 감소와 두 모델 간 수렴 속도의 차이가 나타난다.

ABSTRACT

The most realistic model for current-to-voltage measurements of electrical impedance tomography is the complete electrode model which takes into account electrode shapes and contact impedances at the electrode/object interfaces. When contact impedances are small, numerical instability can be avoided by replacing the complete model with the shunt model in which perfect contacts, that is zero contact impedances, are assumed. In the present work we show that using the shunt model causes only a (almost) linear error with respect to the contact impedances in modelling absolute current-to-voltage measurements. Moreover, we note that the electric potentials predicted by the two models exhibit genuinely different Sobolev regularity properties. This, in particular, causes different convergence rates for finite element approximation of the potentials. The theoretical results are backed up by two dimensional numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 접촉 임피던스가 작을 때 쇄선 모델(SM)이 완전 전극 모델(CEM)의 안정적인 근사로 사용될 수 있음을 엄밀히 정당화하는 것.
• 접촉 임피던스가 0에 수렴할 때 CEM 기반 EIT 재구성에서 발생하는 수치적 불안정성 문제를 해결하는 것.
• 특히 유한요소 근사에서 Sobolev 노름에서 CEM과 SM 해 사이의 수렴 속도를 확립하는 것.
• CEM과 SM 해의 Sobolev 정규성 차이를 명확히 하여, 이가 유한요소 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는지 밝히는 것.
• 이론적 결과를 2차원 수치 실험을 통해 검증하여 메esh 크기와 접촉 임피던스에 따른 수렴 속도를 분석하는 것.

제안 방법

• 접촉 임피던스 z → 0일 때 CEM이 SM으로 수렴함을 보이기 위해 추상적 함수해석적 프레임워크를 사용한다.
• 쌍대성 원리를 적용하여 전극 전압 측정의 향상된 수렴 속도를 도출한다.
• 타원형 혼합 경계값 문제의 정규성 이론을 활용하여 CEM 및 SM 해의 Sobolev 정규성을 정량화한다.
• Céa의 보조정리와 다항식 보간을 사용하여 선형 조각별 유한요소 근사의 사전 오차 추정식을 유도한다.
• SM의 부분공간 투영 해석을 활용하여 CEM 및 SM 해를 연결하고 오차 한계를 도출한다.
• 2차원 수치 실험을 수행하여 H^1, L^2 및 연산자 노름에서 이론적 수렴 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접촉 임피던스 z가 0에 수렴할 때 완전 전극 모델(CEM)이 쇄선 모델(SM)으로 수렴하는가? 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ2 CEM과 SM 해의 Sobolev 정규성 특성은 어떻게 다를 수 있으며, 이는 유한요소 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 CEM 및 SM의 유한요소 근사의 수렴 속도는 무엇이며, 상호 비교는 어떻게 이루어지는가?
• RQ4 CEM을 SM으로 대체할 경우 전극 전압 측정 오차는 접촉 임피던스와 어떻게 비례하는가?
• RQ5 왜 유한요소 방법에서 SM 해는 CEM 해보다 더 정확하게 근사되는가? 이는 정규성과 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• CEM과 SM 해 사이의 H^1 오차는 임의의 s < 1/2에 대해 O(z^s)의 순서이며, 일반적인 2차원 경우에서 s = 1/2가 최적이다.
• CEM과 SM 간 전극 전압 측정 오차는 거의 선형적이며, 임의의 s < 1에 대해 O(z^s)의 순서이다. 이는 SM의 부분공간 투영 구조 때문이며.
• CEM의 공간 전위 해는 더 높은 Sobolev 정규성(H^{1+s}, s < 1/2)을 가지며, SM은 낮은 정규성(H^{1+s}, s < 1/2)을 가지므로, 이는 유한요소 수렴 속도에 영향을 미친다.
• CEM의 유한요소 근사는 L^2 및 H^1 노름에서 O(h^{1+2s})의 수렴 속도를 보이며, z → 0일 때 상수가 발산한다.
• 유한요소 방법에서 전극 전압은 공간 전위보다 '로그 두 배' 더 정확하게 근사된다. 이는 정규성 갭 때문이며.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도가 확인되었으며, 작은 z에 대해 SM이 전극 전압을 CEM보다 더 정확하게 근사함을 보였다.