[논문 리뷰] Electromagnetic Stekloff eigenvalues: existence and behavior in the selfadjoint case

Martin Halla|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자기수반 케이스에서 전자기 Stekloff 고유값 문제의 완전한 스펙트럼 구조를 확립하며, 양의 무한대에 수렴하는 무한한 고유값 수열과 음의 영에 수렴하는 무한한 고유값 수열이 존재함을 증명한다. 여기서 0은 유일한 본질적 스펙트럼 점이다. 분석은 블록 연산자 분해와 슈어 여인수 기법을 사용하여 고유값 존재성을 고정점 추론을 통해 증명한다.

ABSTRACT

In [Camano, Lackner, Monk, SIAM J. Math. Anal., Vol. 49, No. 6, pp. 4376-4401 (2017)] it was suggested to use Stekloff eigenvalues for Maxwell equations as target signature for nondestructive testing via inverse scattering. The authors recognized that in general the eigenvalues due not correspond to the spectrum of a compact operator and hence proposed a modified eigenvalue problem with the desired properties. The Fredholmness and the approximation of both problems were analyzed in [Halla, arXiv:1909.00689 (2019)]. The present work considers the original eigenvalue problem in the selfadjoint case. We report that apart for a countable set of particular frequencies, the spectrum consists of three disjoint parts: The essential spectrum consisting of the point zero, an infinite sequence of positive eigenvalues which accumulate only at infinity and an infinite sequence of negative eigenvalues which accumulate only at zero. The analysis is based on a representation of the operator as block operator. For small/big enough eigenvalue parameter the Schur-complements with respect to different components can be build. For each Schur-complement the existence of an infinite sequence of eigenvalues is proved via a fixed point technique similar to [Cakoni, Haddar, Applicable Analysis, 88:4, 475-493 (2009)]. The modified eigenvalue problem considered in the above references arises as limit of one of the Schur-complements.

연구 동기 및 목표

• 전자기 Stekloff 고유값 문제의 자기수반 케이스에서 완전한 스펙트럼 특성화를 제공하는 것.
• 콤���트성이 없어 고전적 고유값 이론에 속하지 않는 원래 Stekloff 고유값 문제의 프레드홀름 및 스펙트럼 성질을 해결하는 것.
• 이전 연구에서 제안한 원래 문제와 수정된 문제 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 양의 무한대에 수렴하는 무한한 고유값 수열과 음의 영에 수렴하는 무한한 고유값 수열이 존재함을 증명하며, 0이 유일한 본질적 스펙트럼 점임을 확립하는 것.

제안 방법

• 기저 연산자의 블록 연산자 분해를 통해 분석을 수행하고, 슈어 여인수 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 큰 스펙트럼 매개변수 λ에 대해, 비발산 성분에 대한 슈어 여인수를 구성하고, Cakoni와 Haddar(2009)와 유사한 고정점 추론을 통해 분석한다.
• 작은 λ에 대해, 기울기 성분에 대한 슈어 여인수를 분석하여 영에 수렴하는 음의 고유값 존재성을 도출한다.
• 연산자 함수 A_X(λ)가 λ ≠ 0이면 프레드홀름이 되며, 그 스펙트럼이 실수임을 증명한다.
• μ와 ε에 대한 최소한의 가정 하에 H(curl) 및 경계값 공간에 대한 적응된 정(regularity) 및 임bedding 결과를 활용한다.
• 수정된 고유값 문제의 해가 큰 λ에서 원래 문제의 점근적 극한으로 나타남을 보였지만, 비자명한 점근적 고유값 행동은 도출되지 않았다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전자기 Stekloff 고유값 문제의 자기수반 케이스에서 완전한 스펙트럼 구조는 무엇인가?
• RQ2 왜 원래 Stekloff 고유값 문제의 콤팩트성이 성립하지 않으며, 이는 스펙트럼 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Camano 등(2017)에서 제안한 원래 문제의 스펙트럼과 수정된 문제의 스펙트럼 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 연산자 이론 기법을 사용하여 양의 및 음의 무한한 고유값 수열의 존재를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ5 슈어 여인수의 역할은 λ = 0 및 λ = ∞ 근처의 스펙트럼 행동 분석에서 어떤가?

주요 결과

• 전자기 Stekloff 고유값 문제의 스펙트럼은 세 개의 서로소 부분으로 구성된다: 본질적 스펙트럼 {0}, 무한히 많은 양의 고유값 수열(무한대에 수렴), 무한히 많은 음의 고유값 수열(영에 수렴).
• λ가 0에 가까울 때, c₀ > 0 이 존재하여 (0, c₀)에 스펙트럼이 존재하지 않으며, 영에 수렴하는 무한한 음의 고유값 수열이 존재함을 증명한다.
• λ가 무한대에 가까울 때, c∞ > 0 이 존재하여 (−∞, −c∞)에 스펙트럼이 존재하지 않으며, +∞에 수렴하는 무한한 양의 고유값 수열이 존재함을 확립한다.
• 수정된 고유값 문제의 해는 큰 λ에서 원래 문제의 점근적 극한으로 나타나지만, 비자명한 점근적 고유값 행동은 도출되지 않았다.
• 원래 문제의 스펙트럼 정보는 수정된 문제보다 더 풍부하여, 역산산산응용에 잠재적인 이점이 있음을 시사한다.
• H(curl) 분해 하에서 고유값 문제가 분리되며, 비발산 및 기울기 성분에 대해 각각 슈어 여인수를 통해 별도로 분석이 가능하다.