[논문 리뷰] Electronic Implementation of the Mackey-Glass Delayed Model

Pablo Amil, Cécilia Cabeza외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 21.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정밀한 시간 지연을 구현하기 위해 스위치드커패시터 필터를 사용하고, 비선형 함수 블록을 곱셈기 기반으로 구현한 맥키-글라스 지연 미분 방정식의 새로운 전자 회로 실현을 제시한다. 회로의 이산 시간 진화 방정식은 원래 연속 시간 모델과 매우 유사하며, 다양한 시간 지연에서 주기적, 주기 분할, 혼돈 영역을 모두 아우르는 실험 데이터, 시뮬레이션 및 효과적인 회로 방정식 간에 뛰어난 일치를 보인다.

ABSTRACT

The celebrated Mackey-Glass model describes the dynamics of physiological extit{delayed} systems in which the actual evolution depends on the values of the variables at some extit{previous} times. This kind of systems are usually expressed by delayed differential equations which turn out to be infinite-dimensional. In this contribution, an electronic implementation mimicking the Mackey-Glass model is proposed. New approaches for both the nonlinear function and the delay block are made. Explicit equations for the actual evolution of the implementation are derived. Simulations of the original equation, the circuit equation, and experimental data show great concordance.

연구 동기 및 목표

• 시간 지연 역학의 실험적 연구를 위해 안정적이고 정확한 맥키-글라스 지연 미분 방정식의 전자 아날로그를 개발하기 위해.
• 이전 실현 방식의 한계를 극복하기 위해 아날로그 구성 요소를 사용해 비선형 피드백 함수와 시간 지연을 정밀하게 모델링하기 위해.
• 원래 연속 시간 시스템의 거동를 정확히 반영하는 회로의 정확한 이산 시간 진화 방정식 유도하기 위해.
• 원래 방정식의 수치 시뮬레이션과 유도된 회로 방정식의 시뮬레이션과 실험 데이터를 직접 비교하여 회로를 검증하기 위해.
• 시간 지연 시스템에서 혼돈과 주기 분할과 같은 복잡한 역학의 심층적인 실험적 탐구를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 변수 스케일링을 통해 $ x = P/\Theta $ 와 $ t' = \gamma t $ 를 사용하여 맥키-글라스 방정식을 매개변수를 감소시킨 무차원 형태로 변환한다.
• 시간 지연 블록은 스위치드커패시터 필터를 사용하여 안정적이고 조절 가능한 지연을 제공하며, 이는 회로의 진화 방정식을 정확히 유도할 수 있도록 전달 함수를 제공한다.
• 비선형 항 $ \alpha x_\Gamma / (1 + x_\Gamma^n) $ 은 정확한 지수 $ n $ 제어를 보장하기 위해 아날로그 곱셈기와 나눗셈기를 사용하여 실현한다.
• 회로는 노이즈를 최소화하고 실험 측정의 신호 정밀도를 향상시키기 위해 비선형성 블록을 지연 블록 이전에 배치한 특정 블록 순서로 설계된다.
• 회로의 효과적인 진화는 이산 시간 맵으로 유도되며, 이는 $ v_{j+1} = v_j e^{-T_s / (RC)} + (1 - e^{-T_s / (RC)}) \beta \frac{v_{j-N+1}}{\theta^n + v_{j-N+1}^n} $ 의 방정식을 유도한다.
• 시스템은 원래 방정식에 대해 5차 룬게-쿠타 방법을 사용하고, 회로 모델에 대해서는 이산 맵을 사용하여 시뮬레이션하며, 물리적 회로로부터 실험 데이터를 수집한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 가능한 시간 지연과 비선형성을 갖춘 안정적이고 정확한 전자 회로를 구축하여 맥키-글라스 지연 미분 방정식을 모의 구현할 수 있는가?
• RQ2 전자 회로의 이산 시간 진화가 원래 맥키-글라스 방정식의 연속 시간 역학과 얼마나 유사한가?
• RQ3 실험 측정 결과가 수치 시뮬레이션에서 관찰된 분기 구조와 혼돈 행동을 어느 정도 정확히 재현하는가?
• RQ4 비선형 블록과 지연 블록의 순서가 실험 설정에서 노이즈를 최소화하고 신호 품질을 향상시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유도된 회로의 이산 시간 방정식이 물리적 시스템의 거동를 예측하는 데 신뢰할 수 있는 모델이 될 수 있는가?

주요 결과

• 시간 지연 $ \Gamma $ 를 변화시킬 때, 원래 연속 시간 방정식, 이산 시간 효과적 회로 방정식, 실험 데이터에서 유도된 분기 다이어그램이 매우 우수한 일치를 보이며, 固定点, 주기 창, 혼돈 영역 간의 동일한 전이를 보인다.
• 시간 지연 $ \Gamma = 3 $ 일 때, 시스템은 주기적 진동을 보이며, 한 사이클에 한 개의 피크를 가지며, 이는 시뮬레이션과 실험 모두에서 확인된다.
• 시간 지연 $ \Gamma = 5 $ 일 때, 주기 분할 분기로 인해 한 사이클에 두 개의 피크를 가지는 파형이 나타나며, 이는 시뮬레이션과 실험 데이터에서 일관되게 관측된다.
• 시간 지연 $ \Gamma = 7 $ 과 $ \Gamma = 8.5 $ 일 때, 시스템은 점점 더 복잡한 주기적 행동과 결국 혼돈 행동을 보이며, 실험 파형이 시뮬레이션된 시간 시리즈와 형태와 역학에서 일치한다.
• 스위치드커패시터 필터의 전달 함수에서 유도된 회로의 이산 시간 진화 방정식은 시스템의 거동를 정확히 모델링하며, 지연선에서 $ N = 1194 $ 개의 샘플링 포인트를 사용할 경우 尤히 정확하다.
• 실험 데이터는 비선형 함수를 지연 블록 이전에 배치한 전략적 순서 덕분에 노이즈 수준이 크게 감소하여 신호 명료도와 측정 정밀도가 향상됨을 보여준다.