[논문 리뷰] Electronic Structure in a Fixed Basis is QMA-complete

Bryan O’Gorman, Sandy Irani외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고정된 단일 입자 기저에서 전자 구조 해밀토니안의 기저 상태 에너지를 계산하는 것이, 고정된 전자 수가 있더라도 QMA-완전하다는 것을 증명한다. 저자들은 반자성 허이젠베르그 해밀토니안으로부터 페르미-허브라드 모델을 통해 감소시키며, 물리적으로 현실적인 조건 하에서도 문제의 계산 난이도가 유지됨을 보이고, 추가로 이 설정에서 하트리-폭의 에너지 추정 문제가 NP-완전하다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

Finding the ground state energy of electrons subject to an external electric field is a fundamental problem in computational chemistry. We prove that this electronic-structure problem, when restricted to a fixed single-particle basis and fixed number of electrons, is QMA-complete. Schuch and Verstraete have shown hardness for the electronic-structure problem with an additional site-specific external magnetic field, but without the restriction to a fixed basis. In their reduction, a local Hamiltonian on qubits is encoded in the site-specific magnetic field. In our reduction, the local Hamiltonian is encoded in the choice of spatial orbitals used to discretize the electronic-structure Hamiltonian. As a step in their proof, Schuch and Verstraete show a reduction from the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian to the Fermi-Hubbard Hamiltonian. We combine this reduction with the fact that the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian is QMA-hard to observe that the Fermi-Hubbard Hamiltonian on generic graphs is QMA-hard, even when all the hopping coefficients have the same sign. We then reduce from Fermi-Hubbard by showing that an instance of Fermi-Hubbard can be closely approximated by an instance of the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis. Finally, we show that estimating the energy of the lowest-energy Slater-determinant state (i.e., the Hartree-Fock state) is NP-complete for the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis.

연구 동기 및 목표

• 고정된 단일 입자 기저와 고정된 전자 수에 제한된 전자 구조 해밀토니안의 기저 상태 에너지를 근사하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 이전 연구에서 사용된 특정 위치의 자석장이 필요로 하지 않는 QMA-완전성의 증명을 통해 기존 연구의 격차를 메우는 것.
• 고정된 기저와 균일한 힙킹 부호와 같은 물리적으로 타당한 제약 조건 하에서도 전자 구조 문제의 본질적 난이도가 유지됨을 보여주는 것.
• 구조적 특성이 계산 난이도를 감소시키지 않는다는 것을 규명하여 양자 시뮬레이션의 다루기 쉬운 경우와 어려운 경우의 경계를 명확히 하는 것.
• 고정 기저 전자 구조 모델 내에서 하트리-폭 에너지 추정의 복잡도를 규명하는 것.

제안 방법

• 기본적으로 QMA-하드로 알려진 반자성 허이젠베르그 해밀토니안에서 일반적인 그래프 위의 페르미-허브라드 해밀토니안으로 감소시키는 방법.
• 기존에 알려진 반자성 허이젠베르그 모델에서 페르미-허브라드 모델로의 감소를 활용하며, 모든 힙킹 계수의 부호가 동일한 경우에도 QMA-하드성 유지.
• 국소 상호작용을 공간 오비탈을 통해 인코딩하여 페르미-허브라드 해밀토니안에서 고정 기저의 전자 구조 해밀토니안으로의 매핑을 구성.
• 가우시안 형 오비탈과 적분 근사를 사용하여 허브라드 모델의 온사이트 및 힙킹 항을 전자 구조 해밀토니안의 쿨롱 및 운동 에너지 항에 통합.
• 변분 원리와 전자 상관관계 적분의 경계를 적용하여, 매핑된 시스템의 에너지 스펙트럼이 원래 허브라드 모델과 주어진 오차 허용 범위 내에서 근사됨을 보장.
• 변분 공간을 단일 슬래터 행렬식으로 제한하여 하트리-폭 에너지 문제를 분석하고, 알려진 NP-완전 제약 만족 문제로의 감소를 통해 NP-완전성 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 기저에서 전자 구조 문제의 QMA-완전성은 전자 수와 오비탈 수가 고정되어 있을 때에도 성립하는가?
• RQ2 고정 기저 이산화 하에서 페르미-허브라드 모델의 QMA-하드성은 전자 구조 해밀토니안에 의해 유전될 수 있는가?
• RQ3 전자 구조 모델에서만 반발력 쿨롱 상호작용과 균일한 힙킹 부호가 존재할 경우에도 계산 난이도가 유지되는가?
• RQ4 고정 기저 전자 구조 모델에서 하트리-폭 에너지 계산의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 자기장이 아닌 공간 오비탈에 의한 국소 해밀토니안 인코딩이 전자 구조 문제에서 QMA-완전성을 유지하는가?

주요 결과

• 고정된 단일 입자 기저와 고정된 전자 수가 있는 전자 구조 문제의 QMA-완전성은 입증되었으며, 이는 QMA = BQP가 아닐 경우 이 문제에 대해 효율적인 양자 알고리즘이 존재하지 않음을 의미한다.
• 반자성 허이젠베르그 해밀토니안에서 페르미-허브라드 해밀토니안으로의 감소는 모든 힙킹 행렬 원소의 부호가 동일한 경우에도 QMA-하드성 유지.
• 일반적인 그래프 위의 페르미-허브라드 해밀토니안은 QMA-하드이며, 물리적으로 타당한 조건 하에서도 문제가 여전히 어렵다는 것을 보여준다.
• 고정 기저의 전자 구조 해밀토니안은 임의의 정밀도로 페르미-허브라드 모델을 시뮬레이션할 수 있으며, 제어 가능한 오차 범위 내에서 에너지 스펙트럼을 유지한다.
• 고정 기저 전자 구조 해밀토니안의 최저 에너지 하트리-폭 상태(즉, 최적의 단일 슬래터 행렬식)를 찾는 문제의 복잡도는 NP-완전하다.
• 저자들은 쿨롱 적분의 최대값과 그 부정 기여도에 대한 경계를 유도하여, 기하 제약 조건 하에서도 매핑이 안정됨을 보였으며, $ u^{(\text{neg})}_{\text{max}} \leq 2\beta^3 / \Gamma $ 라는 조건이 $ \alpha\Gamma^2 \geq 64 $ 일 때 성립함을 밝혔다.