[논문 리뷰] Elements of Librationism

Frode Bjørdal|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 15.

Computability, Logic, AI Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고델의 구성 가능한 유니버스 L 내부에서 계층적이고 의미적으로 닫힌 프레임워크를 사용함으로써 의미론적 및 집합론적 역설(예: 러셀의 역설, 카리의 역설)을 해결하는 새로운 기본 체계 £(리브라)를 소개한다. 이 시스템은 전이순서수 재귀와 나타남점을 통해 진술의 진리 술어와 정의 가능한 실수를 정의함으로써, 고전적이고 비역설적인 자기참조 및 고차원 무한의 체계적 다루움을 가능하게 하며, ZFC의 일관성을 가정하지 않는다.

ABSTRACT

We develop librationism, {\pounds}, and clarify some mathematical and philosophical matters which relate to the particular manner in which it deals with the paradoxes and to its usefulness as a foundation for mathematics and type free reasoning. We isolate a domination operation which unlike the power set operation is not paradoxical and which helps us isolate the definable real numbers. We show that {\pounds} plus a postulate and a postulation interprets ZFC; our strategy for achieving this involves extending an interpretation by Harvey Friedman of ZF in a system weaker than ZF with collection minus extensionality and a novel notion of $librationist \ capture$ which entails collection, specification and choice in desired contexts.

연구 동기 및 목표

• 의미론적 및 집합론적 역설(예: 러셀의 역설, 카리의 역설)을 고전적이고 비역설적인 프레임워크 안에서 해결하기.
• 의미적으로 닫혀 있으나 고전 논리학을 유지하는 수학과 진리 이론의 기초 제공하기.
• 자기합리적이고 일관된 체계 내에서 정의 가능한 실수와 고차원 무한(예: 마할로 기수) 이론 개발하기.
• 표준 공리적 집합론과 양태논리학의 새로운 대안을 제시하기 위해 '지침'과 '규칙'을 기본 원리로 도입하기.
• 특히 불가접한 기수를 초월하여 불술적으로 기술할 수 없는 기수까지의 고차원 집합론적 계층에서의 정의 가능성과 일관성의 한계 탐색하기.

제안 방법

• £-표현식을 Lς 내의 유한 폰 노이만 순서수로 외부 코딩하는 이중 코딩 방식 사용, Lς는 Σ3-적합한 순서수이다.
• 표현점에 의한 전이순서수 재귀를 적용하여 함수를 정의함으로써 정의 가능성과 일관성을 확보한다.
• 스코렘-프라엔켈 공리를 적용하여 ZFC를 £ 내에서 해석함으로써 상대적 일관성 프레임워크를 확립한다.
• 정규 함수와 극한에 대한 닫힘성을 포괄하는 삼항관계 C(α,β,Ξ)를 통해 상대적 마할로 기수를 정의한다.
• 마할로-공리를 도입하여 이러한 기수의 존재를 주장함으로써 정의 가능한 계층을 오르내릴 수 있도록 한다.
• '지침'과 '규칙'을 축약된 원리로 도입하여 표준 형식주의를 피함으로써 논의의 본질을 다스리는 데 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전 논리학을 포기하지 않은 채 의미적으로 닫혀 있고 비역설적인 체계를 구축할 수 있는가?
• RQ2 자기참조적 진리 이론 내에서 정의 가능한 실수를 어떻게 고립하고 분석할 수 있는가?
• RQ3 표현점에 의한 방법으로 아래에서부터 고차원 무한(특히 마할로 기수 및 불술적으로 기술할 수 없는 기수)을 얼마나 깊이까지 구성할 수 있는가?
• RQ4 £가 ZFC를 해석하고 ZFC의 일관성을 가정하지 않고도 정의 가능한 해석학의 기초를 제공할 수 있는가?
• RQ5 '지침'과 '규칙'이 축약된 원리로서 공리와 추론 규칙과 어떻게 다를 수 있는가?

주요 결과

• £는 일관성 문제 없이 의미적으로 닫힌 언어에 대한 진리 술어를 제공하며, 부정합성 완전성(¬junction completeness)을 달성한다.
• 정의 가능한 계층 ˙D는 나타남점으로서 구성되어 정의 가능한 수학적 분석을 위한 일관된 무대를 제공한다.
• H 위에서의 전이순서수 재귀를 통해 TT(진리이론적) 조건을 이용하여 함수를 구성함으로써 일관성과 정의 가능성 보장된다.
• 스코렘-프라엔켈 공리를 통해 £는 ZFC를 상대적으로 해석할 수 있으며, ZFC의 일관성을 가정하지 않고도 이를 가능하게 한다.
• 마할로-공리는 동시에 KIND이자 히에라르히컬리 KIND인 나타남점을 제공함으로써 대규모 기수의 계층을 오르내리는 데 기여한다.
• 이 체계는 불가접한 기수를 초월하는 고차원 무한이 정의 가능한 나타남점 기반 재귀를 통해 접근 가능할 수 있음을 보여주지만, 불술적으로 기술할 수 없는 기수는 실용적 한계로 보인다.