[논문 리뷰] Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay

Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov|ArXiv.org|2007. 11. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 미분기하학에서의 토판과 그 물리 이론 응용에 대한 종합적인 검토를 제공하며, 엘리 카르탕의 기하학적 기초와 통합 장 이론에서의 역할을 강조한다. 토판은 아인슈타인-카르탕 중력 이론과 텔레파라렐 중력과 같이 국소적 이동 대칭성과 회전 대칭성을 갖는 시공간 이론에서 자연스럽게 발생하며, 이는 스핀과 연속체 내의 불완전성 구조(불완전성 결함)와 관련이 있다. 주요 결과는 카르탕의 구조 방정식과 비앙키 항등식에서 유도된다.

ABSTRACT

We review the application of torsion in field theory. First we show how the notion of torsion emerges in differential geometry. In the context of a Cartan circuit, torsion is related to translations similar as curvature to rotations. Cartan's investigations started by analyzing Einsteins general relativity theory and by taking recourse to the theory of Cosserat continua. In these continua, the points of which carry independent translational and rotational degrees of freedom, there occur, besides ordinary (force) stresses, additionally spin moment stresses. In a 3-dimensional continuized crystal with dislocation lines, a linear connection can be introduced that takes the crystal lattice structure as a basis for parallelism. Such a continuum has similar properties as a Cosserat continuum, and the dislocation density is equal to the torsion of this connection. Subsequently, these ideas are applied to 4-dimensional spacetime. A translational gauge theory of gravity is displayed (in a Weitzenboeck or teleparallel spacetime) as well as the viable Einstein-Cartan theory (in a Riemann-Cartan spacetime). In both theories, the notion of torsion is contained in an essential way. Cartan's spiral staircase is described as a 3-dimensional Euclidean model for a space with torsion, and eventually some controversial points are discussed regarding the meaning of torsion.

연구 동기 및 목표

• 카르탕의 접속을 고려할 때, 미분기하학에서의 토판의 기하학적 및 물리적 의미를 명확히 하기.
• 특히 아인슈타인-카르탕 이론과 텔레파라렐 중력에서 게이지 이론의 프레임워크를 통해 토판이 어떻게 나타나는지 보여주기.
• 코세라-연속체의 스핀 모멘트 응력과 결정 격자 내 불완전성 밀도와 같은 물리적 양과의 관계를 설정하기.
• 미분형식과 카르탕의 구조 방정식을 사용하여 4차원 시공간에서의 토판의 역할을 분석하고, 이의 장 방정식과 호환성 조건에 대한 함의를 보여주기.
• 다양한 모델에서 기하학적 실현과 물리적 실현을 비교함으로써 토판의 물리적 해석에 대한 개념적 논란을 해결하기.

제안 방법

• 미분형식을 사용하여 카르탕의 구조 방정식에 의한 토판의 형식화: 토판 2형식 $ T^eta = d heta^eta + \tilde{\theta}_\rho{}^\beta \theta^\rho $, 여기서 $ \theta^\beta $ 는 코프레임이고 $ \tilde{\theta}_\rho{}^\beta $ 는 접속 1형식이다.
• 외부 공변도함수를 통해 첫 번째 및 두 번째 비앙키 항등식 유도: 각각 $ DT^\beta = R_\rho{}^\beta \theta^\rho $ 과 $ DR_\beta{}^\rho = R_\rho{}^\tau \theta^\tau $.
• 4차원 시공간에 이 형식을 적용하기 위해 코프레임과 접속을 도입하여, 리만-카르탕 기하학과 와이츠엔보크 기하학에서의 토판과 곡률 정의하기.
• 코세라-연속체의 변형을 코프레임과 접속의 리 도함수와 연결하며, 이동 및 회전 변형은 $ \beta^\beta = D u^\beta - \tilde{\theta}_\rho{}^\beta u^\rho + u \rfloor T^\beta $ 과 $ \tilde{\theta}_\rho{}^\beta = D \tilde{\theta}_\rho{}^\beta + u \rfloor R_\rho{}^\beta $ 로 주어진다.
• 곡률이 없는 평탄한 유클리드 배경을 기준으로 하여 곡률이 없는 경우의 변형 척도를 유도한 후, 비자명한 리만-카르탕 기하학으로 일반화하기.
• 비틀림이 없는 시공간에서 유도된 변형 법칙과 파oincaré 게이지 이론의 변환을 조율하여 기하학적 기초와의 일관성을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토판은 미분기하학에서 기하학적으로 어떻게 나타나며, 시공간 이론에서의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ2 아인슈타인-카르탕 이론과 텔레파라렐 중력에서 토판이 일반 상대성 이론을 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 토판은 결정성 물질의 불완전성 밀도와 코세라-연속체의 스핀 모멘트 응력과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 카르탕의 구조 방정식과 비앙키 항등식은 4차원 시공간에서 토판과 곡률을 특징짓는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 코세라-연속체의 변형 척도는 비자명한 기하학적 배경에서 속도 및 접속 장의 공변도함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 토판은 무한소 평행사변형의 닫힘을 깨뜨리며, 평행 이동에서 이동 결함으로 나타나며, $ T_{ij}{}^k = 2\tilde{\theta}_{[ij]}{}^k \neq 0 $ 로 표현되어 곡률과 구별된다.
• 아인슈타인-카르탕 이론에서 토판은 물질의 스핀 밀도에 의해 생성되며, 비영인 토판을 가진 카르탕의 구조 방정식에서 장 방정식이 도출된다.
• 텔레파라렐 중력(와이츠엔보크 시공간)에서는 접속이 평탄하다($ R_\beta{}^\rho = 0 $), 하지만 토판은 비영이며 중력의 장 강도로 작용한다.
• 코세라-연속체의 변형은 기하학적으로 $ \beta^\alpha = D u^\alpha - \omega^\alpha{}_\beta \vartheta^\beta + u \rfloor T^\alpha $ 로 묘사되며, 여기서 $ \omega^\alpha{}\beta $ 는 변형의 회전 부분이다.
• 리만-카르탕 시공간에서는 비자명한 토판과 곡률로 인해 호환성 조건 $ \stackrel{\circ}{D}\beta^\alpha + \kappa_\beta{}^\alpha \wedge \vartheta^\beta = 0 $ 과 $ \stackrel{\circ}{D}\kappa_\beta{}^\alpha = 0 $ 이 위반된다.
• 비틀림이 있는 시공간에서 유도된 변형 법칙은 부호를 적절히 조정하면 파oincaré 게이지 이론의 변환과 일치하며, 이는 게이지 이론 기반 이론과의 일관성을 확인한다.