[논문 리뷰] Elimination via saturation

Mohamed Barakat, Markus Lange‐Hegermann외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 04.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 블록 제거 순서를 피하기 위해 동차화와 이상 침습을 사용하는 포화 기반 알고리즘을 제안한다. 다항식 환에서의 제거 이상 $I \cap B$ 는 $I^h \cap B$ 로 계산될 수 있으며, 여기서 $I^h$ 는 동차화 변수 $x_0$ 를 사용한 $I$ 의 동차화이다. 이로 인해 degree-reverse-lexicographic 순서를 포함한 임의의 단항식 순서를 사용하여 제거를 수행할 수 있다.

ABSTRACT

This short paper presents saturation-based algorithms for homogenization and elimination. This algorithm can compute elimination ideals by using syzygies and ideal membership test, hence it works with any} monomial order, in particular without the use of block-elimination orders. The used saturation is a translation of the geometric fact that the projective closure of an affine scheme has no components in the hyperplane at infinity.

연구 동기 및 목표

• 포화가 이상 몫과 이상 침입 계산의 일반적인 방향을 뒤집어 제거를 수행하는 데 사용될 수 있는가를 판단하는 것.
• 구성적 제거 이론이 구성적 모듈러 이론의 특수한 경우인지, 특히 degree-reverse-lex와 같은 블록 순서가 아닌 순서를 사용할 수 있는지 조사하는 것.
• 블록 제거 단항식 순서에 의존하지 않고 제거 이상 $I \cap B$ 를 계산하는 방법을 제공하는 것.
• 프로젝티브 폐쇄와 이상 침입 사이의 기하학적-대수적 대응 관계를 확립하여, $\overline{X}$ 가 무한원수 평면에 구성 요소를 가지지 않는 사실을 대수적 이상 침입으로 번역하는 것.
• 이 방법을 다항식 환 위의 자유 모듈의 부분모듈로 일반화하는 것.

제안 방법

• 새로운 변수 $x_0$ 를 사용하여 $I \subset R = B[x_1,\dots,x_n]$ 의 이상을 동차화하여 $I^h \subset S = B[x_0,\dots,x_n]$ 를 구성한다.
• 생성 집합 $G$ 가 $I$ 의 생성집합일 때, $I^h$ 를 $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$ 로서의 포화로 계산한다.
• 심지어가 계산을 통해 반복적인 이상 몫을 수행하여 포화를 수행하며, 이는 $B$ 가 효과적인 잔여류 표현을 갖는 경우에 가능하다.
• 생성 집합에서 $x_0, \dots, x_n$ 을 0으로 대체함으로써 제거 이상 $I \cap B$ 를 얻는다.
• 각 생성자를 동차화하여 $S$-동차로 만들고, 결과 모듈러의 포화를 수행함으로써 $R^\ell$ 의 부분모듈로 방법을 일반화한다.
• 기하학적 사실의 대수적 번역을 활용한다: 아핀 스킴 $X$ 의 프로젝티브 폐쇄 $\overline{X}$ 는 무한원수 평면에 구성 요소를 가지지 않으며, 이는 $I^h \cap B = I \cap B$ 와 대응한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포화가 이상 몫이나 이상 침입 계산 외에도 제거를 위한 계산 도구로 사용될 수 있는가?
• RQ2 제거 이론이 구성적 모듈러 이론의 특수한 경우인가? 특히 degree-reverse-lexicographic 순서와 같은 블록 순서가 아닌 순서를 사용할 수 있는가?
• RQ3 블록 제거 그로버 기저를 사용하지 않고도 이상의 동차화를 포화를 통해 계산할 수 있는가?
• RQ4 제약 조건 없이 임의의 가환 단위 기초환 $B$ 에서도 등식 $I \cap B = I^h \cap B$ 가 성립하는가?
• RQ5 이 방법을 이상에서 유한 계수 자유 모듈의 부분모듈로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제거 이상 $I \cap B$ 는 $I^h$ 와 동일하며, 여기서 $I^h$ 는 $x_0$ 를 기준으로 한 $I$ 의 동차화이다. 이는 방법의 기하학적-대수적 기초를 제공한다.
• 동차화된 이상 $I^h$ 는 $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$ 로 계산될 수 있으며, 이는 블록 제거 순서 없이도 계산 가능하게 한다.
• 포화 $J : x_0^\infty$ 는 $J = \langle g^h \mid g \in G \rangle$ 일 때 심지어를 사용한 반복적인 이상 몫을 통해 계산될 수 있으며, 이는 $B$ 가 효과적인 잔여류 표현을 갖는 경우에 효과적이다.
• 생성 집합에서 $x_0, \dots, x_n$ 을 0으로 대체하면 $I \cap B$ 의 생성 집합을 얻을 수 있으며, 이는 제거 과정을 완료한다.
• 이 방법은 $R^\ell$ 의 부분모듈로 일반화되며, 동차화가 성분별로 적용되고 포화가 $S^\ell$ 에서 수행되며, 제거는 0으로 대체함으로써 달성된다.
• 이 방법은 임의의 가환 단위 기초환 $B$ 에서 유효하며, 증명은 체나 노에터 환에 제한 없이 일반적으로 제시된다.