[논문 리뷰] Elliptic and parabolic equations with measurable coefficients in weighted Sobolev spaces

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 11.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 계수들이 한 개의 공간 변수와 시간에서 가측성이고 나머지 변수에서 작은 BMO 반경을 가지며, 두 번째 순서 타원형 및 포아송형 미분방정식에 대해 존재성, 유일성 및 가중 Sobolev 노름 추정을 확립한다. 이는 하향항 계수들이 경계 근처에서 발산할 수 있도록 허용하고 데이터 공간을 확장함으로써 기존 이론을 더 넓은 계수 클래스로 확장하며, 일반적인 가중치를 가진 가중 Sobolev 공간에서 최적의 정규성 결과를 달성한다.

ABSTRACT

We consider both divergence and non-divergence parabolic equations on a half space in weighted Sobolev spaces. All the leading coefficients are assumed to be only measurable in the time and one spatial variable except one coefficient, which is assumed to be only measurable either in the time or the spatial variable. As functions of the other variables the coefficients have small bounded mean oscillation (BMO) semi-norms. The lower-order coefficients are allowed to blow up near the boundary with a certain optimal growth condition. As a corollary, we also obtain the corresponding results for elliptic equations.

연구 동기 및 목표

• 한 공간 변수와 시간에서 가측이고 나머지 변수에서 작은 BMO 반경을 가지는 계수를 가진 타원형 및 포아송형 미분방정식의 가중 Sobolev 공간에서의 해석 이론을 확장한다.
• 무한대에서의 감쇠 조건을 요구하는 대신, 하향항 계수들이 경계 근처에서 발산할 수 있도록 허용하고 최적의 성장 조건을 확보한다.
• 비발산형 방정식의 데이터 공간을 이전 결과를 초월하여 확장하여, $ \lambda > 0 $ 일 때 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ 를 포함하도록 한다.
• 비발산형 및 발산형 모두에 대해 가중 Sobolev 공간 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 와 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ 에서 사전 추정 및 유일한 해석 가능성을 확립한다.

제안 방법

• Krylov에 의해 도입된 측도 $ x_1^{\theta - d} dx $ 를 가진 가중 Sobolev 공간 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 와 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ 를 사용하여 경계 행동과 특이 계수를 다룬다.
• 지역화와 커팅 함수 $ \eta_k $ 를 통한 연속성 방법과 사전 추정의 적응, 최대 함수 추정 및 평행 이동 불변성의 조합.
• 진동의 크기에 대한 작은 조건을 포함하는 핵심 보조정리(보조정리 6.7)를 적용하여 가중 $ L_p $-노름에서 기울기와 하향항을 제어한다.
• 우변을 $ D_i g_i + f $ 로 분해하고 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ 를 사용하며, 임베딩 $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} \subset \mathbb{L}_{p,\theta} $ 를 활용하여 더 큰 함수 공간에 있는 데이터를 다룬다.
• 기울기 항의 크기를 $ \varepsilon $ 를 통해 제어하기 위해 파라미터 $ \varepsilon $ 를 사용하고, $ \varepsilon^{1/\beta'q} $ 의 작음을 통해 사전 추정의 수렴성을 확보한다.
• 최종 추정을 위해 $ \varepsilon_2 $ 와 $ \varepsilon $ 를 충분히 작게 선택하여 $ N_0\varepsilon_2 \leq 1/3 $ 과 $ N_1\varepsilon^{1/\beta'q} < 1/3 $ 이 되도록 하여 원하는 유계성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원형 및 포아송형 미분방정식의 해석 이론은 주 계수들이 한 공간 변수와 시간에서 가측이고 나머지 변수에서 작은 BMO 반경을 가지는 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ2 경계 근처에서 발산할 수 있도록 허용할 때, 가중 Sobolev 공간에서 유일한 해석 가능성을 유지하는 데 최적의 성장 조건은 무엇인가?
• RQ3 비발산형 방정식의 데이터 공간을 $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} $ 를 초월하여 $ \lambda > 0 $ 일 때 $ \mathbb{L}_{p,\theta} $ 를 포함하도록 확장할 수 있는가, 여전히 해석 가능성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 하향항 계수들이 무한대에서 감쇠하지 않아도 되는 조건에서, 가중 Sobolev 공간에서 사전 추정 및 유일한 해석 가능성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비발산형 및 발산형 방정식에 대해 주 계수들이 $ (t,x_1) $ 에서 가측성이고, $ a^{11} $ 만이 $ t $ 또는 $ x_1 $ 에서 가측성인 경우에 대해 가중 Sobolev 공간 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ 와 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 에서 사전 추정을 증명한다.
• 주 계수 $ a^{ij} $ 는 $ x_1 $ 과 $ t $ 에서 가측성이며, 나머지 변수에서 작은 BMO 반경을 가지며, 이는 이전 결과에서 요구하던 연속성 또는 더 높은 정규성 조건을 초월한다.
• 하향항 계수 $ b^i, \hat{b}^i, c $ 는 경계 $ x_1 = 0 $ 에서 최적의 성장 조건을 만족하며 발산할 수 있으며, 무한대에서 0이 되어야 할 필요가 없다.
• 데이터 공간이 확장된다: $ \lambda > 0 $ 일 때 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $ 가 허용되며, 이는 이전 결과보다 더 큰 공간이며 기존 결과를 향상시킨다.
• 사전 추정 $ \sqrt{\lambda}\|u\|_{p,\theta} + \|M^{-1}u\|_{p,\theta} + \|Du\|_{p,\theta} \leq N_0(\|g\|_{p,\theta} + \lambda^{-1/2}\|f\|_{p,\theta}) + \text{작은 항들} $ 은 $ \varepsilon $ 와 $ \varepsilon_2 $ 의 작음을 통해 확립되며, 이는 유일한 해석 가능성을 이끈다.
• 결과는 타원형 방정식으로 확장되며, 이는 같은 계수 가정 조건 하에서 타원형 설정에서도 동일한 해석 이론이 적용됨을 확인한다.