[논문 리뷰] Elliptic Blowup Equations for 6d SCFTs. IV: Matters

Jie Gu, Babak Haghighat외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 04.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 79인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 원자적 분류에 속하는 모든 6차원 (1,0) 초등방출장 이론(SCFT)에 대해 타원 블로업 방정식을 수립하여, 그들의 타원 지니와 정밀화된 BPS 불변량을 완전히 계산할 수 있도록 한다. 유니티 및 영이 되는 블로업 방정식을 이용해 재귀 공식, 웨일 궤도 전개 및 ϵ1,ϵ2 전개를 유도함으로써, 임의의 수의 스트링과 완전한 플라버/게이지 푸아시티를 가진 타원 지니를 해석할 수 있으며, 접합 규칙을 통해 랭크-일 및 그 이상의 이론에 대한 체계적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Given the recent geometrical classification of 6d $(1,0)$ SCFTs, a major question is how to compute for this large class their elliptic genera. The latter encode the refined BPS spectrum of the SCFTs, which determines geometric invariants of the associated elliptic non-compact Calabi-Yau threefolds. In this paper we establish for all 6d $(1,0)$ SCFTs in the atomic classification blowup equations that fix these elliptic genera to large extent. The latter fall into two types: the unity- and the vanishing blowup equations. For almost all rank one theories, we find unity blowup equations which determine the elliptic genera completely. We develop several techniques to compute elliptic genera and BPS invariants from the blowup equations, including a recursion formula with respect to the number of strings, a Weyl orbit expansion, a refined BPS expansion and an $ε_1,ε_2$ expansion. For higher-rank theories, we propose a gluing rule to obtain all their blowup equations based on those of rank one theories. For example, we explicitly give the elliptic blowup equations for the three higher-rank non-Higgsable clusters, ADE chain of $-2$ curves and conformal matter theories. We also give the toric construction for many elliptic non-compact Calabi-Yau threefolds which engineer 6d $(1,0)$ SCFTs with various matter representations.

연구 동기 및 목표

• 원자적 분류에 속하는 모든 6차원 (1,0) SCFT의 타원 지니를 계산하여, 그들의 정밀화된 BPS 스펙트럼을 기록한다.
• 일 스트링 상태를 초월하고 완전한 플라버/게이지 푸아시티 의존성을 갖는 BPS 불변량을 계산하는 데 도전하는 문제를 해결한다.
• 접합 규칙을 이용해 블로업 방정식 방법을 랭크-일 이론에서 더 높은 랭크의 SCFT로 확장한다.
• 이전 방법들인 국소화, 모듈러 보트스트랩, 월드시트 분석 등의 제약 조건을 극복하는 체계적인 계산 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 모든 랭크-일 6차원 (1,0) SCFT에 대해 유니티 및 영이 되는 블로업 방정식을 유도하여, 유한한 예외 수를 제외하고 타원 지니를 고정한다.
• 기저 차수에 관계없이 타원 지니를 계산하기 위한 스트링 수에 대한 재귀 공식을 개발한다.
• 게이지 및 플라버 대칭의 표현을 정밀화된 BPS 스펙트럼에 처리하기 위해 웨일 궤도 전개를 구현한다.
• 정밀화된 BPS 전개 및 ϵ1,ϵ2 전개를 사용하여 블로업 방정식에서 모듈러 및 코hom올로지 데이터를 추출한다.
• 랭크-일 구성 요소로부터 높은 랭크 이론의 타원 블로업 방정식을 구성하기 위한 접합 규칙을 제안한다.
• 일반적인 물질 표현을 갖는 6차원 SCFT를 기하학적으로 설계하는 토릭 칼라비-야우 3차원을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원 블로업 방정식은 라그랑지안 기술이 없는 이론까지 포함해 모든 6차원 (1,0) SCFT의 타원 지니를 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 임의의 스트링 수와 완전한 플라버/게이지 푸아시티 의존성을 갖는 6차원 SCFT의 정밀화된 BPS 불변량을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 어떤 접합 규칙이 블로업 방정식을 랭크-일에서 높은 랭크의 6차원 SCFT로 확장할 수 있도록 하는가?
• RQ4 어떤 고려된 높은 랭크 이론들은 블로업 방정식으로만으로는 유일하게 고정되지 않으며, 이를 해결하기 위해 추가로 어떤 자료가 필요한가?
• RQ5 타원 지니의 모듈러 성질은 블로업 방정식과 그 해에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 대부분의 랭크-일 6차원 (1,0) SCFT에 대해 유니티 블로업 방정식은 타원 지니를 유일하게 결정하며, 오직 12개의 예외만 존재한다.
• 저자들은 총 차수 8까지의 모든 n=1 sp(N), su(N), so(N), G2, F4, E6, E7 이론에 대해 타원 지니를 계산하였으며, 명시적인 정밀화된 BPS 불변량을 제공하였다.
• 이 방법은 기저 차수가 임의이고 완전한 플라버/게이지 푸아시티를 갖는 BPS 불변량을 성공적으로 계산하였으며, 이는 이전 기법들이 일 스트링 상태나 제한된 푸아시티 집합에 국한된 것과 대비된다.
• 높은 랭크 이론의 경우 접합 규칙을 통해 랭크-일 구성 요소로부터 블로업 방정식을 구성하였으며, 이는 세 개의 비해체 가능한 클러스터와 −2 곡선의 ADE 체인에서 확인되었다.
• 논문은 일반적인 물질 표현을 갖는 많은 타원 비콤팩트 칼라비-야우 3차원의 토릭 구성을 제공하여 6차원 SCFT를 기하학적으로 설계한다.
• 영이 되는 블로업 방정식은 타원 지니의 모듈러 성질를 제약하지만, 이를 유일하게 결정하는 데에는 부족하여 일부 고려된 높은 랭크 이론에 대해 여전히 열린 문제로 남아 있다.