[논문 리뷰] Elliptic curves and Hilbert's tenth problem for algebraic function fields over real and p-adic fields

Laurent Moret-Bailly|arXiv (Cornell University)|2004. 09. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 및 p진 수체 위의 함수체에서 디오판틴 불가결성을 입증한다. 이는 유리 함수체 위에서 모듈러 랭크가 1인 왜곡된 타원곡선을 사용하여 데네프의 방법을 확장함으로써 이루어지며, 이로써 힐베르트의 제10 문제의 불가결성이 이러한 설정에서의 반지름환과 함수체에서 성립함을 증명한다. 기하학적 구성과 비율 이론적 추론을 통해 다항방정식 해의 집합이 다항방정식적으로 Z의 사영 복사본을 정의한다.

ABSTRACT

Let k be a field of characteristic zero, V a smooth, positive-dimensional, quasiprojective variety over k, and D a nonempty effective divisor on V. Let K be the function field of V, and A the semilocal ring of D in K. In this paper, we prove the Diophantine undecidability of: (1) A, in all cases; (2) K, when k is (formally) real and V has a real point; (3) K, when k is a subfield of a p-adic field, for some odd prime p. To achieve this, we use Denef's method: from an elliptic curve E over Q, without complex multiplication, one constructs a quadratic twist E' of E over Q(t), which has Mordell-Weil rank one. Most of the paper is devoted to proving (using a theorem of R. Noot) that one can choose f in K, vanishing at D, such that the group E'(K) deduced from the field extension K/Q(f)=Q(t) is equal to E'(Q(t)). Then we mimic the arguments of Denef (for the real case) and of Kim and Roush (for the p-adic case).

연구 동기 및 목표

• 실수 및 p진 수체 위의 함수체의 존재적 이론의 불가결성을 확립하여 기존 결과를 더 넓은 수체 계열로 확장한다.
• 실수 또는 p진 수체 위의 함수체에서 정수환의 다항방정식적 정의 불가능성을 증명하여, 다항방정식의 해가 존재하는지 여부를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 의미한다.
• 원래 실수 함수체에 대해 데네프의 방법을 적용한 바를 p진 설정으로 확장하며, 유리 함수체 위에서 랭크 1인 타원곡선의 이차 왜곡을 사용한다.
• 함수체 위에서 Z와 동형인 다항방정식적 부분집합을 구성하며, 비율 이론과 p진 수체 위에서 이차형식의 비이분성 조건을 활용한다.
• 매끄럽고 준비된 대상 위의 비어있지 않은 비약수에서의 국소환 A의 존재적 이론도 불가결함을 증명한다.

제안 방법

• 유리 함수체 Q(t) 위의 타원곡선 E에 대해, Mordell-Weil 랭크가 1인 이차 왜곡 Ẽ를 구성하며, 이는 특정 비약수 Q에서 0이 되는 유리함수 f를 통해 함수체 K 위에서 정의된다.
• R. Noot의 정리에 따라 Ẽ(K)가 Ẽ(Q(t))와 동형임을 보장함으로써, 함수체 위에서도 랭크 1의 구조를 유지한다.
• 명시적인 다항방정식과 비율 조건을 사용하여 K²의 다항방정식 부분집합 Λ를 정의하며, 이는 Z와 동형인 환의 구조를 갖는다.
• 비율 이론적 기법을 적용: v₀와 v∞ 비율에 기반한 Q(f)의 부분집합 Y₀, Y₁을 정의하고, 이차형식의 비이분성 조건을 통해 Y₁이 Y에 대해 상대적으로 다항방정식적임을 증명한다.
• 매개변수 c₃, c₅ ∈ C(다항방정식적 부분집합으로서 Qₚ에 밀도를 가짐)에 따라 정의되는 K 위에서의 이차형식 φ₀와 φ₁의 비이분성을 이용하여, 다항방정식 조건을 통해 곱셈 연산을 정의한다.
• 김과 루쉬의 결과를 활용하여, 이차형식의 비이분성과 뉴턴 다각형 조건을 통해 r ∈ Y₁이면 두 형식 모두 비이분성임을 보장하고, r ∈ Y₀이면 적어도 하나는 비이분성임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데네프의 방법이 실수 함수체에서 불가결성을 증명하는 데 쓰인 바를 p진 함수체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 함수체 위에서 왜곡된 타원곡선의 Mordell-Weil 군이 기저 유리 함수체 위의 그것과 동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 실수 또는 p진 수체 위의 함수체에서 Z와 환의 구조로 동형인 다항방정식 부분집합이 존재하는가?
• RQ4 이러한 다항방정식 부분집합의 환 구조가 링의 언어에서 존재적 공식들만으로 정의될 수 있는가?
• RQ5 비대수적으로 닫힌 체가 아닌 체 위의 함수체 산술을 정의하는 데 비율 조건과 이차형식의 비이분성은 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 특성 0인 체 k 위의 매끄럽고 준준비된 대상 V의 비어있지 않은 비약수 Q에서의 국소환 A의 존재적 이론은 불가결하다.
• 형식적으로 실수인 체 k 위의 곡선의 함수체 K에 대해, 존재적 이론은 불가결하다. 이는 데네프의 결과를 비유리 함수체로 확장한다.
• k가 홀수 소수 p에 대해 Qₚ의 유한 확장의 부분체일 경우, K의 존재적 이론은 불가결하다. 이는 p진 경우를 완성한다.
• Mordell-Weil 랭크가 1인 왜곡된 타원곡선과 비율 이론적 조건을 사용하여 K²의 다항방정식 부분집합 Λ를 구성하며, 이는 Z와 동형인 환의 구조를 갖는다.
• Λ에서의 곱셈은 이차형식 φ₀와 φ₁의 비이분성을 통해 다항방정식 조건으로 정의되며, 이는 뉴턴 다각형 조건과 매개변수의 p진 밀도에 의해 보장된다.
• 이 구성은 효과적이다. 필요한 다항방정식 집합은 유리함수와 비율 조건을 사용하여 명시적으로 정의될 수 있으나, 모든 경우에서 완전한 효과성은 보장되지 않는다.