[논문 리뷰] Elliptic curves with non-abelian entanglements

Nathan Jones, Ken McMurdy|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 타원곡선이 그 분할체에서 비아벨적 엔트레인먼트를 가질 조건을 분류하며, 특히 유니폼화가 가능한 모듈라 곡선을 중심으로 다룬다. 구체적으로, 이러한 곡선에 대한 명시적 매개변수화를 통해 완전한 목록을 제시하며, 비아벨적 엔트레인먼트가 특정한 GL₂(Ẑ)의 열린 부분군에서 기인함을 보이고, 이소지와 갈루아 이론적 조건을 이용해 Q(t) 위에서 무한한 D₆-엔트레인먼트의 가족을 구성한다.

ABSTRACT

We consider the problem of classifying quadruples $(K,E,m_1,m_2)$ where $K$ is a number field, $E$ is an elliptic curve defined over $K$ and $(m_1,m_2)$ is a pair of relatively prime positive integers for which the intersection $K(E[m_1]) \cap K(E[m_2])$ is a non-abelian extension of $K$. There is an infinite set $\mathcal{S}$ of modular curves whose $K$-rational points capture all elliptic curves over $K$ without complex multiplication that have this property. Our main theorem explicitly describes the (finite) subset of $\mathcal{S}$ consisting of those modular curves having genus zero. In the case $K = \mathbb{Q}$, this has applications to the problem of determining when the Galois representation on the torsion of $E$ is as large as possible modulo a prescribed obstruction; we illustrate this application with a specific example.

연구 동기 및 목표

• 수체 K 위의 타원곡선 중 그 분할체에서 비아벨적 엔트레인먼트를 가지는 경우를 분류하는 것.
• 유니폼화 가능한 모듈라 곡선에서 기인하는 모든 이러한 엔트레인먼트를 특정하는 것.
• GL₂(Ẑ)의 열린 부분군 G ⊆ GL₂(Ẑ)에 대응하는 모듈라 곡선 X̃G를 이용해 이러한 곡선의 명시적 매개변수화를 제공하는 것.
• Q(t) 위에서 수준이 무한히 증가하는 D₆-엔트레인먼트의 무한한 가족이 존재함을 보이는 것.
• 복합수 m에 대한 mod m 표현의 맥락에서 갈루아 표현과 엔트레인먼트의 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 열린 부분군 G ⊆ GL₂(Ẑ)에 대해 ⟨G, −I⟩의 작용 하에 모듈라 곡선 X(m) 및 그 몫 X̃G(m)를 사용한다.
• K-유리점이 특정 갈루아 이미지를 가진 타원곡선으로 해석할 수 있도록 잊혀진 사상 j̃G: X̃G → X(1) ≅ P¹을 적용한다.
• 유니폼화 가능한 매개변수화 기법을 활용하며, 특히 y² = −3t를 통한 유리 매개변수화와 대체를 통해 특이한 삼차 곡선 모형을 유도한다.
• 계수에 D²A(t)와 D³B(t)를 포함하는 명시적 웨이어스트라스 방정식을 통해 Q(t) 위의 타원곡선 ED의 가족을 구성한다. 여기서 A(t)와 B(t)는 유리 함수이다.
• 섬분형과 이소지 조건을 이용해 ρE(GK) ˙⊆G6,D를 확보하며, K(μ₃), K(E[2]), √D에 대한 조건을 활용한다.
• kernel of η와 GL₂(Z/mZ) 내의 공轭류와 같은 군론적 도구를 적용하여 엔트레인먼트의 구조를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합수 m에 대해 수체 K 위의 타원곡선이 m-분할체에서 비아벨적 엔트레인먼트를 가지는 경우는 언제인가?
• RQ2 GL₂(Ẑ)의 열린 부분군 G ⊆ GL₂(Ẑ)에 대응하는 모듈라 곡선 X̃G 중에서 유니폼화 가능한 것 중 비아벨적 엔트레인먼트를 매개변수화하는 것은 무엇인가?
• RQ3 비아벨적 엔트레인먼트를 가진 타원곡선의 무한한 가족을 수준 m이 무한히 증가하는 조건에서 구성할 수 있는가?
• RQ4 서로소인 m₁, m₂에 대해 갈루아 이론적 조건이 K(E[m₁]) ∩ K(E[m₂]) 가 비아벨적임을 보장하는가?
• RQ5 갈루아 표현의 이미지가 복합수 수준의 분할체에서 엔트레인먼트의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 수체 위에서 비아벨적 엔트레인먼트를 매개변수화하는 모든 유니폼화 가능한 모듈라 곡선 X̃G에 대한 완전한 분류를 제공한다.
• Q(t) 위에서 D₆-엔트레인먼트의 명시적 무한 가족을 타원곡선 ED: y² = x³ + D²A(t)x + D³B(t)를 통해 구성하며, A(t)와 B(t)는 명시적으로 주어진 유리 함수이다.
• 각 기본 판별식 D에 대해, Q(t) 위의 곡선 ED는 ρED(GQ(t)) .= G6,D 를 만족하며, 엔트레인먼트 K(ED[3]) ∩ K(ED[mD]) 는 D₆ 유형의 비아벨적 엔트레인먼트이다.
• 엔트레인먼트는 K(μ₃) ∩ K(ED[2], √D) 에서 기인하며, 갈루아 이미지는 GL₂(Z/6Z)의 부분군으로서 D₆ 와 동형이며, 이는 공轭된 형태를 가진다.
• 군 ˜G6 는 수준 6을 가지며, 어떤 갈루아 표현 ρE(GQ) 에서도 −I 를 포함하지 않지만, ˜G6 에서는 −I 가 존재한다. 이는 −I 를 포함하는 커mutator-두껍게 된 부분군이 존재하지 않기 때문이다.
• 이 구성은 고정된 G₀에 대해 {mGL₂(G) : G ∈ Gnon-ab(0), G .= SL₂ G₀} 가 유계가 아님을 보여주며, 임의로 큰 수준에서 엔트레인먼트의 존재를 확인한다.