[논문 리뷰] Elliptic equations involving general subcritical source nonlinearity and measures

Huyuan Chen, Patricio Felmer외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 16인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 마르친키에비치 공간에서의 새로운 고정점 접근법을 통해 일반적인 초임계 비선형성과 측도 데이터를 포함하는 분수형 타원형 방정식에 대한 약한 비음성 해의 존재성을 확립한다. 비선형성의 적분 초임계 조건과 측도 매개변수의 작음 조건 하에서 기존 결과를 볼록성 또는 단조성 조건을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we study the existence of positive solutions to elliptic equation (E1) $$(-Δ)^αu=g(u)+σν\quad{ m in}\quad Ω,$$ subject to the condition (E2) $$u=\varrhoμ\quad { m on}\quad \partialΩ \ { m if}\ α=1\qquad { m or\ \ in}\ \ Ω^c \ \ { m if}\ α\in(0,1),$$ where $σ,\varrho\ge0$, $Ω$ is an open bounded $C^2$ domain in $\mathbb{R}^N$, $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian with $α\in(0,1)$ or Laplacian operator if $α=1$, $ν,μ$ are suitable Radon measures and $g:\mathbb{R}_+\mapsto\mathbb{R}_+$ is a continuous function. We introduce an approach to obtain weak solutions for problem (E1)-(E2) when $g$ is integral subcritical and $σ,\varrho\ge0$ small enough.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 초임계 원천 비선형성과 측도 데이터를 갖는 반선형 분수형 타원형 방정식에 대한 약한 비음성 해의 존재성을 확립한다.
• 비선형성의 볼록성과 단조성 조건에 대한 제약을 초월하여 기존의 해 존재 결과를 확장한다.
• 일반적이며 볼록적이지도, 증가하지도 않는 비선형성을 다룰 수 있는 마르친키에비치 공간에서의 새로운 고정점 프레임워크를 개발한다.
• 비선형성의 적분 초임계 조건과 측도 매개변수의 작음 조건을 바탕으로 해 존재 조건을 특성화한다.

제안 방법

• 일반적인 초임계 비선형성을 다룰 수 있도록 볼록성 또는 단조성 조건을 요구하지 않는 마르친키에비치 공간에서의 새로운 고정점 추론을 도입한다.
• 해를 측도 데이터와 비선형 항으로 나타내기 위해 그린 연산자 $ \mathbb{G}_{\alpha} $ 와 포아송 핵 표현을 사용한다.
• 가중 마르친키에비치 공간 $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^{\beta}dx) $ 에서 샤펜의 고정점 정리를 적용하여 컴팩턴스와 수렴성을 확보한다.
• 비선형성의 적분 초임계 조건 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 를 사용하여 해 수열의 균일한 유계성을 확립한다. 여기서 $ p^*_{\beta} = \frac{N+\beta}{N-2\alpha+\beta} $ 이다.
• 매끄러운 함수를 통한 측도의 근사와 극한을 취하여 분포적 의미에서 약한 해를 정의한다.
• 쌍대성에 의한 약한 해 정의: $ \int_\Omega u(-\Delta)^\alpha \xi \, dx = \int_\Omega g(u)\xi \, dx + \sigma \int_\Omega \xi \, d\nu $ 이며, 테스트 함수 $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $ 에 대해 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $ g $ 와 측도 데이터 $ \sigma\nu $ 가 분수형 타원형 방정식 $ (-\Delta)^\alpha u = g(u) + \sigma\nu $ 에서 $ \Omega $ 내에서 약한 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형성의 볼록성 또는 단조성 조건 없이 일반적인 초임계 비선형성에 대해 해 존재성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 적분 초임계 조건 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 가 해 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ 일 때, 매개변수 $ \sigma $ 와 $ \epsilon $ 가 얼마나 작아야 해 존재 보장이 가능한가?
• RQ5 비선형성이 반드시 볼록적이거나 증가하지 않더라도, 마르친키에비치 공간에서의 고정점 추론을 통해 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형성 $ g(s) \leq c_2 s^{p_0} + \epsilon $ 에 대해 $ p_0 \in (0,1] $ 이면, 임의의 $ \sigma > 0 $, $ \epsilon > 0 $, 그리고 $ p_0 = 1 $ 일 때 충분히 작은 $ c_2 $ 에 대해 약한 비음성 해가 존재하며, $ u_\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $ 를 만족한다.
• 비선형성 $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ 이 $ [0,1] $ 에서 성립하고 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 이면, $ \sigma_0, \epsilon_0 > 0 $ 이 존재하여 $ \sigma \in [0, \sigma_0) $ 과 $ \epsilon \in (0, \epsilon_0) $ 에서 해가 존재한다.
• 해는 $ u_\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $ 를 만족하여 그린 잠재력에 기반한 하한을 확보한다.
• 해 존재 결과는 $ \alpha \in (0,1] $, $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ 가 유계인 $ C^2 $ 영역이며, $ \nu \in \mathfrak{M}_+(\Omega, \rho^\beta) $ 이고 $ \beta \in [0, \alpha] $ 일 때 성립한다.
• 이 방법은 비선형성에 대한 볼록성과 단조성 가정을 피하고, 적분 초임계 조건과 마르친키에비치 공간 추정에 의존한다.
• 해는 $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^\beta dx) $ 에서의 고정점 추론을 통해 구성되며, 근사 매개변수에 독립적인 균일한 유계성이 확보된다.