[논문 리뷰] Elliptic Genera of Singular Varieties

Lev Borisov, Anatoly Libgober|ArXiv.org|2000. 07. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특이 다양체에 대한 특이 타원형 지표와 군 작용에 대한 오비폴드 타원형 지표라는 두 가지 새로운 불변량을 도입하며, 정규화 인자 하에 이들이 동치임을 증명한다. 이는 코버디즘 이론과 특이점의 해소를 통해 대칭 곱에 대한 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 공식의 수학적 기초를 제공하며, 오비폴드 타원형 지표의 생성함수를 확립한다.

ABSTRACT

Orbifold elliptic genus and elliptic genus of singular varieties are introduced and relation between them is studied. Elliptic genus of singular varieties is given in terms of a resolution of singularities and extends the elliptic genus of Calabi-Yau hypersurfaces in Fano Gorenstein toric varieties introduced earlier. Orbifold elliptic genus is given in terms of the fixed point sets of the action. We show that the generating function for this orbifold elliptic genus $\sum Ell_{orb}(X^n,Σ_n)p^n$ for symmetric groups $Σ_n$ acting on $n$-fold products coincides with the one proposed by Dijkgraaf, Moore, Verlinde and Verlinde. Two notions of elliptic genera are conjectured to coincide.

연구 동기 및 목표

• 유한군의 복소다양체 위 작용에 대해 오비폴드 타원형 지표의 수학적으로 엄밀한 정의를 내리는 것.
• 특이점의 해소와 캐논리컬 디바이저를 통한 Q-코헨스타이너 다양체에 대한 특이 타원형 지표의 도입.
• 몫다양체에 대해 오비폴드 타원형 지표와 특이 타원형 지표 사이의 추측적 동치성을 확립하는 것.
• 코버디즘 이론을 사용하여 오비폴드 타원형 지표의 생성함수에 대한 위상수학적 증명을 제공하는 것.
• 타원형 지표의 개념을 특이 및 오비폴드 설정으로 확장하여 토리크 다양체 내 캘라비-야우 초면을 일반화하는 것.

제안 방법

• 서로 가환하는 군 원소들의 고정점 집합과 정규(bundle)의 체르니 클래스를 이용해 오비폴드 타원형 지표를 정의한다.
• 특이점의 해소를 통한 특이 타원형 지표의 구성으로, 보정항이 캐논리컬 디바이저에서 유도된 적분 형태로 표현된다.
• [1]에서 유도된 빌라티onal 사상의 부드러운 블로우업 및 블로우다운으로의 분해를 이용해 특이점과 해소를 분석한다.
• 코버디즘 이론을 적용하여 오비폴드 타원형 지표가 G-코버디즘에 대해 불변임을 보이며, null-cobordant G-다양체에서 0이 됨을 증명한다.
• Bierstone-Milman 해소의 보편성을 활용해 몫 특이점의 G-불변 해소를 구성한다.
• 코버디즘 이론과 체르니 클래스 평가를 통해 대칭 곱의 오비폴드 타원형 지표의 생성함수가 Dijkgraaf-Moore-Verlinde 공식과 정확히 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군의 복소다양체 위 작용에 대해 오비폴드 타원형 지표를 어떻게 수학적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 타원형 지표의 적절한 일반화는 무엇이며, 이는 해소 데이터와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 대칭 곱 $X^n / \Sigma_n$의 오비폴드 타원형 지표는 Dijkgraaf 등이 제안한 생성함수와 일치하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 몰입 다양체에 대해 오비폴드 타원형 지표와 특이 타원형 지표가 일치하는가?
• RQ5 코버디즘 이론을 사용하여 오비폴드 타원형 지표의 생성함수 항등식을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 오비폴드 타원형 지표는 군 원소의 공轭류에 대한 합으로 정의되며, 고정점 집합과 그 정규(bundle)의 기여를 포함한다.
• 특이 타원형 지표는 해소 $\pi: Y \to Z$를 통해 정의되며, 상대 캐논리컬 디바이저 $K_Y - \pi^*K_Z$에서 유도된 보정항 $\alpha_k$가 포함된다.
• 생성함수 $\sum_{n \geq 0} p^n \cdot \text{Ell}_{\text{orb}}(X^n / \Sigma_n; y, q)$는 Dijkgraaf-Moore-Verlinde 공식과 정확히 일치한다.
• 오비폴드 타원형 지표는 G-코버디즘의 불변량이며, null-cobordant G-다양체에서 0이 된다.
• G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}의 경우 Kosniowski의 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-코버디즘 생성자들을 사용하여 오비폴드 및 특이 타원형 지표가 (정규화를 제외하고) 일치한다는 추측이 증명된다.
• 보편적 해소를 통한 G-불변 해소의 구성은 몰입 오비폴드의 다양한 스트라타 간의 호환성을 보장한다.