[논문 리뷰] Elliptic genera, torus manifolds and multi-fans

Akio Hattori, Mikiya Masuda|ArXiv.org|2001. 07. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중팬과 토루스 오비폴드에 대한 등변 타원형 형식과 오비폴드 타원형 형식을 도입하며, 오비폴드 환경으로의 토릭 기하학의 일반화를 시도한다. 아티야-사이트어 고정점 정리와 두이스터마트-헤크만 공식을 사용하여, 전역형 다중팬의 첫 번째 체른 클래스가 $ N $로 나누어떨어지면, 그 수준 $ N $의 타원형 형식이 0이 된다는 퇀장 정리를 증명한다. 이는 매끄러운 토릭 다양체에서의 강성과 퇀장 결과를 오비폴드로 확장한다.

ABSTRACT

The rigidity theorem of Witten-Bott-Taubes-Hirzebruch tells us that, if the circle group acts on a closed almost complex (or more generally unitary) manifold whose first Chern class is divisible by a positive integer N greater than 1, then its equivariant elliptic genus of level N is rigid. Applying this to a non-singular compact toric variety, we see that its elliptic genus of level N is rigid if its first Chern class is divisible by N. But, using a vanishing theorem of Hirzebruch, we can show moreover that the genus actually vanishes. In this note we shall extend this result to torus manifolds. In fact, a non-singular complete multi-fan is associated with a torus manifold, and rigidity and vanishing of elliptic genus of level N can be formulated and proved for non-singular complete multi-fans. Some applications on compact non-singular toric varieties with the first Chern class divisible by a large positive integer are given.

연구 동기 및 목표

• 다중팬과 토루스 오비폴드에 대한 등변 타원형 형식과 오비폴드 타원형 형식을 정의하고, 토릭 기하학을 오비폴드 환경으로 확장한다.
• 아티야-사이트어 고정점 정리와 두이스터마트-헤크만 이론을 사용하여 이러한 형식의 특성 공식을 수립한다.
• 첫 번째 체른 클래스가 $ N $로 나누어떨어지는 전역형 다중팬에 대해 수준 $ N $의 타원형 형식이 0이 되는 퇀장 정리를 증명한다.
• 매끄러운 토릭 다양체에서의 강성과 퇀장 결과를 토루스 오비폴드와 그에 대응하는 다중팬으로 일반화한다.

제안 방법

• 스테이블 애슬로우 복소 오비폴드 위의 토루스 작용에 대해 아티야-사이트어 유형의 고정점 공식을 사용하여 등변 타원형 형식의 특성 공식을 유도한다.
• 다중다각형 위의 두이스터마트-헤크만 함수의 다중성 공식을 적용하여, 형식을 토루스의 가상 특성으로 표현한다.
• 다중팬과 생성 벡터의 쌍에 대해 첫 번째 체른 클래스를 정의함으로써, 퇴화에 대한 수론적 조건을 가능하게 한다.
• 히르츠브루흐와 타우버스의 강성 및 퇀장 정리를 다중팬 구조를 통해 조합론적으로 재구성한다.
• 고정점 데이터와 이소트로피 군을 포함하는 식 (34), (35), (36)을 통해 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 와 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 의 명시적 공식을 도출한다.
• 오비폴드 차트와 고정점 집합의 구성요소 사이의 대응관계를 설정하여, 형식을 이소트로피 군과 콘에 대한 합으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등변 타원형 형식은 어떻게 토루스 오비폴드와 그에 대응하는 다중팬으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 생성 벡터를 가진 완전 단순 다중팬에 대해 등변 타원형 형식을 지배하는 특성 공식은 무엇인가?
• RQ3 수준 $ N $의 타원형 형식이 전역형 다중팬에서 퇴화하는 조합론적 조건은 무엇인가?
• RQ4 다중팬을 통한 타원형 형식의 강성은 어떻게 매끄러운 토릭 다양체에서 오비폴드 환경으로 확장되는가?
• RQ5 다중팬의 맥락에서 $ T_y $-형식과 토드 형식의 퇴화 정리에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 토루스 오비폴드 $ M $ 의 등변 타원형 형식 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 는 식 (34)와 같이 최대 콘과 이소트로피 군에 대한 합을 포함하는 특성 공식으로 주어진다.
• 오비폴드 타원형 형식 $ ilde{ ho}^{v}(M) $ 는 식 (35)와 같이 이소트로피 군과 고정점 성분에 대한 이重합으로 표현된다.
• 첫 번째 체른 클래스가 $ N $ 으로 나누어떨어지는 전역형 다중팬의 경우, 수준 $ N $ 의 타원형 형식은 0이 되며, 이를 정리 5.3 에서 언급한다.
• $ N=2 $ 인 경우, 형식의 퇴화는 해당 스피너 토루스 다양체의 서명이 0이 됨을 의미한다.
• $ (-y)^N = 1 $ 이고 첫 번째 체른 클래스가 $ N $ 으로 나누어떨어지면, 완전한 다중팬의 $ T_y $-형식은 0이 되며, 이는 [6]의 결과를 확장한다.
• 완전한 비특이 다중팬이 토드 형식이 0이 아니고 $ c_1 $ 이 $ N $ 으로 나누어떨어지면, $ N \nleq n+1 $ 이며, 등호가 성립하면 팬은 $ \bP^n $ 과 동형이다.