[논문 리뷰] Elliptic solutions to Toda lattice hierarchy and elliptic Ruijsenaars-Schneider model

Vadim Vyacheslavovich Prokofev, A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 27.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2차원 토다 격자(2DTL) 계기계와 타원적 Ruijsenaars-Schneider(eRS) 다체계 사이의 정확한 대응을 확립한다. 2DTL 계기계의 고차 시간 $t_m$ 및 $ar{t}_m$ 에서의 다극자 운동은 eRS 모델의 스펙트럼 곡선에서 유도된 해밀토니안에 의해 지배된다: $H_m$ 은 $z=\infty$ 에서 $z$ 의 음의 거듭제곱 전개에서 유도되고, $ar{H}_m$ 은 $z=0$ 에서의 양의 거듭제곱 전개에서 유도된다. 핵심 결과는 2DTL 계기계의 고차 흐름이 eRS 계기계와 스펙트럼 곡선 전개를 통해 식별된다는 것이다.

ABSTRACT

We consider solutions of the 2D Toda lattice hierarchy which are elliptic functions of the zeroth time t_0=x. It is known that their poles as functions of t_1 move as particles of the elliptic Ruijsenaars-Schneider model. The goal of this paper is to extend this correspondence to the level of hierarchies. We show that the Hamiltonians which govern the dynamics of poles with respect to the m-th hierarchical times t_m and \bar t_m of the 2D Toda lattice hierarchy are obtained from expansion of the spectral curve for the Lax matrix of the Ruijsenaars-Schneider model at the marked points.

연구 동기 및 목표

• 타원적 해를 위한 2차원 토다 격자(2DTL) 계기계와 타원적 Ruijsenaars-Schneider(eRS) 다체계 사이의 대응을 확립한다.
• 기존의 첫 번째 시간 $t_1$ 에서의 다극자 운동 대응을 전체 고차 시간 $t_m$ 과 $ar{t}_m$ 의 계기계로 확장한다.
• 2DTL 계기계의 다극자 운동을 지배하는 해밀토니안을 eRS 모델의 스펙트럼 곡선 전개의 계수로 식별한다.
• 이전의 유리형 및 삼각함수적 극한 결과를 전체 타원적 경우로 일반화한다.
• eRS의 운동량 보존량에 대한 표현으로서 첫 번째 몇 개의 해밀토니안 $H_m$ 과 $ar{H}_m$ 의 명시적 표현을 제공한다.

제안 방법

• 논문은 파동 함수와 그 쌍대 문제의 보조 선형 문제를 사용하며, 기본 영역당 단일 단순 극을 가진 이중 블로흐 해를 구성하기 위해 극 근사법을 적용한다.
• 타원적 해에 대한 타우 함수는 $\tau(x,t,\bar{t}) = \exp\left(-\sum_{k\geq1} kt_k\bar{t}_k\right) \prod_{i=1}^N \sigma(x - x_i(t,\bar{t}))$ 로 표현되며, 여기서 $\sigma(x)$ 는 아벨르의 시그마 함수이다.
• eRS 모델의 스펙트럼 곡선은 $\det\left(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)\right) = 0$ 으로 정의되며, 여기서 $L(\lambda)$ 는 라그랑주 행렬이고 $\zeta(\lambda)$ 는 아벨르의 제타 함수이다.
• 양의 시간 $t_m$ 에 대한 해밀토니안은 $z=\infty$ 근처에서 $z$ 의 음의 거듭제곱 전개에서 $\lambda(z)$ 의 계수로 추출된다.
• 음의 시간 $ar{t}_m$ 에 대한 해밀토니안은 $z=0$ 근처에서 $z$ 의 양의 거듭제곱 전개에서 $\lambda(z)$ 의 계수로 추출된다.
• 스펙트럼 곡선과 $\lambda(z)$ 의 전개를 이용하여 $H_m$ 과 $ar{H}_m$ 의 명시적 공식을 유도하며, $\sigma(m\eta)/\sigma^m(\eta)$ 를 통해 재정규화된 운동량 보존량 $J_m$ 이 정의된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2DTL 계기계의 고차 시간 흐름 $t_m$ 과 $ar{t}_m$ 은 타원적 Ruijsenaars-Schneider 모델의 해밀토니안과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 스펙트럼 곡선 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ 이 2DTL 계기계의 해밀토니안 생성에 어떻게 정확히 기능하는가?
• RQ3 $H_m$ 과 $ar{H}_m$ 이 $z=\infty$ 와 $z=0$ 에서 $\lambda(z)$ 의 로랑 전개에서 어떻게 유도되는가?
• RQ4 첫 번째 몇 개의 해밀토니안 $H_m$ 과 $ar{H}_m$ 이 eRS 운동량 보존량에 대해 명시적으로 어떻게 표현되는가?
• RQ5 타원적 해의 유리형 및 삼각함수적 극한은 이전의 KP 및 mKP 계기계에 대한 연구 결과를 어떻게 재현하는가?

주요 결과

• 2DTL 계기계에서 $m$-번째 양의 시간 $t_m$ 에 대한 다극자 운동은 해밀토니안 $H_m$ 에 의해 지배되며, 이는 $z=\infty$ 에서 $z$ 의 음의 거듭제곱 전개에서 $\lambda(z)$ 의 $m$-번째 계수이다.
• 2DTL 계기계에서 $m$-번째 음의 시간 $ar{t}_m$ 에 대한 다극자 운동은 해밀토니안 $ar{H}_m$ 에 의해 지배되며, 이는 $z=0$ 에서 $z$ 의 양의 거듭제곱 전개에서 $\lambda(z)$ 의 $m$-번째 계수이다.
• 첫 번째 세 개의 해밀토니안에 대한 명시적 표현은 $H_1 = J_1$, $H_2 = J_2 - \zeta(\eta)J_1^2$, 그리고 $H_3 = J_3 - (\zeta(\eta) + \zeta(2\eta))J_1J_2 + \left(\frac{3}{2}\zeta^2(\eta) - \frac{1}{2}\wp(\eta)\right)J_1^3$ 이며, 여기서 $J_m$ 은 재정규화된 eRS 운동량 보존량이다.
• 유리형 극한에서 해밀토니안은 $H_1 = I_1$, $H_2 = \eta^{-1}(2I_2 - I_1^2)$, $H_3 = \eta^{-2}(3I_3 - 3I_1I_2 + I_1^3)$ 으로 줄어들며, 캘로지오-모저 시스템에 대한 알려진 결과와 일치한다.
• 삼각함수적 극한에서 해밀토니안은 $H_m = -\frac{\sinh(\gamma \eta m)}{\gamma m} \operatorname{tr} L_m^{\text{trig}}$ 로 표현되며, [20]의 삼각함수적 Ruijsenaars-Schneider 모델 결과를 재현한다.
• 스펙트럼 곡선 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ 은 eRS 모델의 모든 고차 해밀토니안을 생성하는 함수로서 기능하며, $\lambda(z)$ 는 전체 흐름 계기계를 코딩한다.