[논문 리뷰] Elliptically Symmetric Lenses and Violation of Burke's Theorem

Sun Hong Rhie|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 04.

History and Developments in Astronomy참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 타원형 대칭 렌즈(ESL)가 렌즈 방정정식의 외부 영역에 존재하는 가짜 초점으로 인해 버크의 정리 위반을 보임을 보여준다. 이는 굴절 적분의 제곱근 항에 존재하는 분지 절단에서 기인한다. 부드럽고 비경계가 있는 질량 분포와는 달리, 경계가 있는 ESL은 가짜 초점을 기준으로 이미지 수가 변화하며, 이는 총 대칭성 불변성의 파괴를 초래하고, 장기간 동안 부드러운 밀도 함수가 중력 렌즈에서 이미지 대칭성을 유지한다는 가정에 도전한다.

ABSTRACT

We show that the outside equation of a bounded elliptically symmetric lens (ESL) exhibits a pseudo-caustic that arises from a branch cut. A pseudo-caustic is a curve in the source plane across which the number of images changes by one. The inside lens equation of a bounded ESL is free of a pseudo-caustic. Thus the total parity of the images of a point source lensed by a bounded elliptically symmetric mass is not an invariant in violation of the Burke's theorem. A smooth mass density function does not guarantee the validity of the Burke's theorem. Pseudo-caustics of various lens equations are discussed. In the Appendix, Bourassa and Kantowski's deflection angle formula for an elliptically symmetric lens is reproduced using the Schwarz function of the ellipse for an easy access; the outside and inside lens equations of an arbitrary set of truncated circularly or elliptically symmetric lenses, represented as points, sticks, and disks, are presented as a reasonable approximation of the realistic galaxy or cluster lenses. One may consider smooth density functions that are not bounded but fall sufficiently fast asymptotically to preserve the total parity invariance. Any bounded function may be sufficiently closely approximated by an unbounded smooth function obtained by truncating its Fourier integral at a high frequency mode. Whether to use a bounded function or an unbounded smooth function for an ESL lens mass density, whereby whether to observe the total parity invariance or not, incurs philosophical questions. For example, is it sensible to insist that the elliptical symmetry of an elliptic lens galaxy be valid in the entire sky? How a pseudo-caustic close to or intersecting with a caustic must be withered away during a smoothing process and what it means will be investigated in a separate work.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 타원형 대칭 질량 분포가 총 이미지 대칭성 불변성에 관한 버크의 정리를 위반하는지 조사하는 것.
• 특히 굴절 적분에서 발생하는 분지 절단으로 인해 나타나는 렌즈 방정식 내의 가짜 초점의 기원을 분석하는 것.
• 경계가 있는 ESL의 외부 렌즈 방정식은 가짜 초점을 포함하지만 내부 방정식은 포함하지 않아, 대칭성 불변성이 깨지는 것을 입증하는 것.
• 은하 및 은하단 렌즈 모델링에 사용되는 경계가 있는 vs. 비경계가 있는 부드러운 질량 함수의 철학적 및 물리적 함의를 탐색하는 것.

제안 방법

• 타원의 슈바르츠 함수와 복소해석 기법을 사용하여 경계가 있는 타원형 대칭 렌즈의 정규화된 외부 및 내부 렌즈 방정식을 유도한다.
• 굴절 적분을 타원형 경로를 따라 평가하기 위해 코시의 적분 정리와 스토크스 정리를 적용한다.
• 타원적 반경 매개변수 η와 적분 한계 t_cut(외부는 1, 내부는 η)를 고려하여 렌즈 방정식을 분석함으로써 분지 절단의 의존성을 드러낸다.
• 두 가지 구체적 모델을 고려한다: 사인역수 렌즈(σ̃(t) = 1/t)와 일정 밀도 렌즈(σ̃(t) = 2)이며, 이들의 명시적 렌즈 방정식을 유도한다.
• 더 넓은 적용 가능성을 위해 보라스타와 칸토프(1975)의 굴절 각 공식을 슈바르츠 함수 체계를 사용하여 재생하고 일반화한다.
• 점 질량, 막대(타원형 렌즈), 디스크로 구성된 은하 및 은하단 렌즈 모델을 제안하며, 적절한 내부/외부 렌즈 방정식을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 타원형 대칭 렌즈는 버크의 정리에서 요구하는 총 이미지 대칭성 불변성의 위반을 일으키는가?
• RQ2 경계가 있는 ESL의 외부 렌즈 방정식 내의 가짜 초점의 기원은 무엇이며, 내부 방정식과 어떻게 다를까?
• RQ3 경계 모델이 실패하는 렌즈 시스템에서, 부드럽고 비경계가 있는 질량 밀도 함수를 사용하여 총 대칭성 불변성을 복원할 수 있는가?
• RQ4 굴절 적분의 제곱근 항에 존재하는 분지 절단이 가짜 초점 형성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 경계 질량 분포를 렌즈 모델에 사용할 경우 버크의 정리와 같은 기본 정리의 타당성에 어떤 함의가 있는가?

주요 결과

• 경계가 있는 타원형 대칭 렌즈의 외부 렌즈 방정식은 굴절 적분의 제곱근 항에 존재하는 분지 절단으로 인해 가짜 초점을 나타내며, 이는 곡선을 기준으로 이미지 수가 한 개 변화시킨다.
• 경계가 있는 ESL의 내부 렌즈 방정식은 가짜 초점을 포함하지 않아, 질량 분포 내부에서는 이미지 수가 안정적이다.
• 결과적으로, 경계가 있는 ESL이 형성하는 이미지의 총 대칭성이 불변하지 않으며, 이는 직접적으로 버크의 정리를 위반한다.
• 이 위반은 점 특이성 때문이 아니라, 특히 복소 평면상의 c-cut이 이중값성을 띠는 수학적 구조에서 기인한다.
• 무한대에서 충분히 빠르게 감쇠하는 부드럽고 비경계가 있는 질량 밀도 함수는 총 대칭성 불변성을 유지할 수 있으며, 이는 경계 모델의 대안이 될 수 있다.
• 논문은 경계 질량 함수를 푸리에 적분의 고주파수 절단을 통해 비경계 부드러운 함수로 근사할 수 있음을 제안하며, 이는 렌즈 모델에서 경계 모델의 물리적 타당성에 대한 기초적인 질문을 제기한다.