[논문 리뷰] Embedded constant mean curvature hypersurfaces on spheres

Óscar Perdomo|ArXiv.org|2009. 03. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $S^{n+1}$에서 $n \geq 2$, $m \geq 2$인 경우, $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 대칭군을 가진 비등가성(non-isoparametric), 컴act, 임bedded된 일정 평균곡률(CMC) 초곡면을 구성한다. 이는 $2\pi/m$ 회전에 대해 불변인 프로파일 곡선을 분석함으로써 이루어지며, $H$가 $\cot(\pi/m)$와 $b_{m,n} = \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}$ 사이일 때 이러한 임bedded CMC 초곡면이 존재함을 증명한다. 또한 $S^3$에서 모든 $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$이 비등가성 CMC 표면의 평균곡률이 될 수 있음을 보이며, 이 결과는 쌍곡공간과 유클리드 공간으로 일반화된다.

ABSTRACT

Let m>1 and n>1 be any pair of integers. In this paper we prove that if H is between the numbers \cot(\fracπ{m}) and b_{m,n}=\frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}, then, there exists a non isoparametric, compact embedded hypersurface in S^{n+1} with constant mean curvature H that admits the group O(n)x Z_m in their group of isometries, here O(n) is the set of n x n orthogonal matrices and Z_m are the integers mod m. When m=2 and H is close to the boundary value 0, the hypersurfaces look like two very close n-dimensional spheres with two catenoid necks attached, similar to constructions made by Kapouleas. When m>2 and H is close to \cot(\fracπ{m}), the hypersurfaces look like a necklets made out of m spheres with (m+1) catenoid necks attached, similar to constructions made by Butscher and Pacard. In general, when H is close to b_{m,n} the hypersurface is close to an isoparametric hypersurface with the same mean curvature. As a consequence of the expression of these bounds for H, we have that every H different from 0,\pm\frac{1}{\sqrt{3}} can be realized as the mean curvature of a non isoparametric CMC surface in S^3. For hyperbolic spaces we prove that every non negative H can be realized as the mean curvature of an embedded CMC hypersurface in H^{n+1}, moreover we prove that when H>1 this hypersurface admits the group O(n) imes Z in its group of isometries. Here Z are the integer numbers. As a corollary of the properties proven for these hypersurfaces, for any n> 5, we construct non isoparametric compact minimal hypersurfaces in S^{n+1} which cone in R^{n+2} is stable. Also, we will prove that the stability index of every non isoparametric minimal hypersurface with two principal curvatures in S^{n+1} is greater than 2n+5.

연구 동기 및 목표

• $S^{n+1}$에서 주어진 대칭 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$를 가진 비등가성, 컴팩트, 임bedded된 CMC 초곡면을 구성하는 것.
• 이러한 임bedded 초곡면이 존재하는 평균곡률 $H$의 범위를 규명하는 것.
• 구조를 쌍곡공간과 유클리드 공간으로 확장하여 임bedded성과 대칭성 특성을 확립하는 것.
• $S^{n+1}$에서 두 개의 주곡률를 가진 최소 초곡면의 안정성 지표가 $2n+5$를 초과함을 분석하는 것.
• $n \geq 6$일 때, $S^{n+1}$에서 일부 최소 초곡면이 $\mathbb{R}^{n+2}$에서 안정된 최소 콘으로 수축함을 보이는 것.

제안 방법

• CMC 초곡면의 프로파일 곡선을 반지름과 각도 성분으로 분리하여 분석하고, 각 함수가 엄격히 증가함을 증명함으로써 단사성과 임bedded성을 확보한다.
• $S^{n+1}$에서의 프로파일 곡선을 모델링하기 위해 $ (g')^2 = g^{2-2n} q(g) $의 미분방정식을 사용하며, $ q(v) = C v^{2n-2} - (H^2 - 1)v^{2n} - 2H v^n - 1 $이다.
• 지지함수에 의존하지 않고 반지름과 각도를 별도로 추적함으로써 Otsuki의 방법을 수정 적용한다.
• 주기성과 $\mathbb{Z}_m$ 회전 대칭성을 결정하기 위해 총 회전 각도 $ K = \int_0^T \frac{r(u)\lambda(u)}{1 + r^2(u)} du $를 정의한다.
• 쌍곡공간에 대해 $ H > 1 $인 경우 수정된 ODE를 사용하고 주기적 해와 임bedded성을 증명한다.
• 기하적 적분과 벡터장 분석(예: $\eta$, $\nu$)을 활용하여 프로파일 곡선에서 초곡면을 재구성하고 일정 평균곡률임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $S^{n+1}$에서 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 대칭을 가진 비등가성, 컴팩트, 임bedded CMC 초곡면이 존재하는 $H$의 값은 무엇인가?
• RQ2 $S^3$에서 모든 $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$이 비등가성 CMC 표면의 평균곡률이 될 수 있는가?
• RQ3 $S^{n+1}$에서 두 개의 주곡률를 가진 비등가성 최소 초곡면의 안정성 지표는 얼마인가?
• RQ4 $H^{n+1}$에서 $H > 1$이면서 $O(n) \times \mathbb{Z}$ 대칭을 가진 임bedded CMC 초곡면을 구성할 수 있는가?
• RQ5 $n \geq 6$일 때, $S^{n+1}$에서 일부 최소 초곡면이 $\mathbb{R}^{n+2}$에서 안정된 최소 콘으로 수축하는가?

주요 결과

• $H \in \left(\cot\left(\frac{\pi}{m}\right), \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}\right)$ 일 때, $S^{n+1}$에서 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 대칭을 가진 비등가성, 컴팩트, 임bedded CMC 초곡면이 존재한다.
• $m=2$이고 $H \to 0^+$일 때, 초곡면은 두 개의 거의 겹치는 $n$-구를 두 개의 캣레노이드 목으로 연결한 형태를 띤다.
• $m>2$이고 $H \to \cot(\pi/m)^+$일 때, 초곡면은 $m$개의 구를 $m+1$개의 캣레노이드 목으로 연결한 목걸이 형태를 띤다.
• $n \geq 6$일 때, 논문은 $\mathbb{R}^{n+2}$에서 안정된 최소 콘으로 수축하는 비등가성 컴팩트 최소 초곡면을 $S^{n+1}$에서 구성한다.
• $S^{n+1}$에서 두 개의 주곡률를 가진 모든 비등가성 최소 초곡면의 안정성 지표는 $2n+5$를 초과한다.
• $H^{n+1}$에서는 모든 $H \geq 0$가 임bedded CMC 초곡면의 평균곡률로 실현 가능하며, $H > 1$일 경우 이러한 초곡면는 $O(n) \times \mathbb{Z}$ 대칭을 가진다.