[논문 리뷰] Embedding General Relativity with varying cosmological constant term in five-dimensional Brans-Dicke theory of gravity in vacuum

Luz M. Reyes, José Edgar Madriz Aguilar|ArXiv.org|2009. 02. 27.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 진공 상태의 5차원 Brans-Dicke 중력 이론을 제안하며, 5차원 스칼라 장이 추가 좌표에만 의존할 경우, 4차원 일반 상대성 이론이 시간에 따라 변하는 우주상수를 가진 채로 4차원 초표면 위에 기하학적으로 유도될 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 4차원 중력 결합 상수와 우주상수가 5차원 기하학으로부터 유도된다는 점이며, 제로 차원이 허블 길이 수준일 경우 유도된 우주상수가 관측된 값과 일치한다.

ABSTRACT

We investigate the possibility to recover a four-dimensional (4D) general theory of relativity, as embedded in a 5D spacetime where gravity is governed by a five-dimensional (5D) Brans-Dicke (BD) theory of gravity. Employing the Gauss-Codazzi-Ricci equations and some ideas of the induced matter theory, we obtain that when the 5D BD scalar field is only depending of the extra coordinate, it is possible to recover on every generic 4D hypersurface the usual Einstein field equations plus a cosmological constant term, with matter sources described by the energy-momentum tensor of induced matter and where the cosmological constant under certain conditions can vary with time. Finally to illustrate the formalism, we give an example in which we induced a cosmological constant from warped product spaces.

연구 동기 및 목표

• 4차원 일반 상대성 이론이 우주상수를 가진 채로 5차원 Brans-Dicke 중력 이론의 진공 상태에서 기하학적으로 유도될 수 있는지 탐구하는 것.
• Brans-Dicke 스칼라 장이 추가 좌표에만 의존할 경우, 4차원 중력 결합 상수와 우주상수가 어떻게 고차원 기하학으로부터 기인하는지 조사하는 것.
• 유도된 물질과 우주상수 항이 시간에 따라 변하는 4차원 우주상수의 효과적 상태 방정정식을 재현할 수 있음을 보여주는 것.
• 왜곡된 곱 기하학을 사용하여 구체적인 예를 제시함으로써, 유도된 4차원 우주상수가 관측된 추정치와 일치하는지 확인하는 것.

제안 방법

• Brans-Dicke 스칼라 장이 추가 좌표에만 의존하는 5차원 시공간에 대해 Gauss-Codazzi-Ricci 방정식을 적용하여 유도된 4차원 장 방정식을 유도한다.
• 5차원 작용을 4차원 효과적 작용으로 줄여내며, 4차원 뉴턴 상수는 $16\pi G_N = 1/\varphi(\psi_0)$를 통해 5차원 Brans-Dicke 스칼라 장과 관련됨을 보여준다.
• 유도된 물질의 에너지-모멘텀 텐서는 5차원 리치 곡률과 스칼라 장의 프로파일을 바탕으로 산출되며, 이는 유도된 물질 프레임워크에 따른 것이다.
• 왜곡된 곱 메트릭을 구체적 예시로 사용하여 유도된 4차원 우주상수를 계산하며, $g_{\psi\psi}$는 추가 좌표의 함수로 간주된다.
• 효과적 상태 방정식 매개변수 $\omega_{\text{eff}}$를 계산하여, 유도된 물질이 $\omega_{\text{IM}} = -1$일 경우 $\omega_{\text{eff}} = -1$임을 보여주며, 이는 우주상수와 일치함을 확인한다.
• 5차원 스칼라 장 $\psi_0$의 값은 관측된 $\Lambda_0 \simeq 10^{-54} \, \text{m}^{-2}$와 일치시키기 위해 $6.12 \cdot 10^{26}$ m로 제약된다. 이는 허블 길이와 관련된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 우주상수를 가진 4차원 일반 상대성 이론이 5차원 Brans-Dicke 중력 이론의 진공 상태에서 기하학적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 추가 좌표에만 의존하는 5차원 Brans-Dicke 스칼라 장이 4차원 효과적 이론에서 우주상수와 유도된 물질을 어떻게 유도하는가?
• RQ3 이 통합 프레임워크에서 5차원 중력 결합 상수와 4차원 뉴턴 상수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유도된 4차원 우주상수가 관측된 값과 일치할 수 있으며, 이는 추가 차원의 크기에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 유도된 물질과 우주상수 항의 효과적 상태 방정식은 결과로 유도된 4차원 이론에서 무엇인가?

주요 결과

• 초표면 $\Sigma_0: \psi = \psi_0$ 상의 4차원 효과적 이론은 물질과 우주상수 항이 모두 5차원 시공간으로부터 기하학적으로 유도된 채로 아인슈타인 장 방정식을 재현한다.
• 4차원 뉴턴 상수는 $16\pi G_N = 1/\varphi(\psi_0)$를 통해 유도되며, 이는 4차원 중력 결합 상수를 $\psi_0$에서 평가한 5차원 Brans-Dicke 스칼라 장과 연결한다.
• 5차원 메트릭 성분 $g_{\psi\psi}$가 일정할 경우, 유도된 우주상수 $\Lambda_0$는 시간에 따라 변하지 않으며, $g_{\psi\psi}$가 시간에 따라 변할 경우 $\Lambda(t)$ 역시 시간에 따라 변한다.
• 왜곡된 곱 기하학의 예시에서, 유도된 4차원 우주상수는 $\Lambda_0 = \frac{3}{8\psi_0^2}$이며, $\Lambda_0 \simeq 10^{-54} \, \text{m}^{-2}$로 설정하면 $\psi_0 = 6.12 \cdot 10^{26} \, \text{m}$가 되며, 이는 허블 길이와 유사하다.
• 효과적 상태 방정식 매개변수 $\omega_{\text{eff}} = -1$이며, 이는 유도된 물질($\omega_{\text{IM}} = -1$)과 우주상수 항의 조합이 순수한 우주상수와 유사한 행동을 보임을 나타낸다.
• $\psi_0 \simeq 6.12 \cdot 10^{26} \, \text{m}$의 값은 현재 허블 길이의 약 0.2배이며, 이는 제로 차원의 간접적 관측 가능성에 자연스러운 해석을 제공한다.