[논문 리뷰] Embedding of a maximal curve in a Hermitian variety

Gábor Korchmáros, Fernando Torres|ArXiv.org|1999. 11. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 모든 F-최대 곡선이 어떤 $M \leq N$에 대해 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^M$ 안의 비퇴화 허미션ian 다양체에 매장된 비특이 곡선으로, $q+1$차수 곡선과 F-동형임을 규명한다. 여기서 $N = \dim |(q+1)P_0|$이다. 핵심 결과는 이러한 곡선들이 허미션ian 다양체 위에 놓인 곡선들과 기하학적으로 동치임을 보이며, 그 자동사상군이 프로젝티브 유니타리군 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$에 포함됨을 보여주어, 허미션ian 매장에 의한 최대 곡선의 완전한 기하적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

Let X be a projective geometrically irreducible non-singular algebraic curve defined over a finite field F of order $q^2$. If the number of F-rational points of X satisfies the Hasse-Weil upper bound, then X is said to be F-maximal. For a point P_0\in X(F), let πbe the morphism arising from the linear series D:=|(q+1)P_0|, and let N:=dim(D). It is known that N\ge 2 and that πis independent of P_0 whenever X is F-maximal. The following theorems will be proved: Theorem 0.1: If X is F-maximal, then π:X o π(X) is a F-isomorphism. The non-singular model π(X) has degree q+1 and lies on a Hermitian variety defined over F of P^N(\bar F); Theorem 0.2: If X is F-maximal, then it is F-isomorphic to a curve Y in P^M(\bar F), with 2\le M\le N, such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of ¶^M(\bar F). Furthermore, Aut_F(X) is isomorphic to a subgroup of the projective unitary group PGU(M+1,q^2); Theorem 0.3: If X is F-birational to a curve Y embedded in P^M(\bar F) such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of P^M(\bar F), then X is F-maximal and X is F-isomorphic to Y.

연구 동기 및 목표

• 유한체 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위의 F-최대 곡선을 그들이 매장된 허미션ian 다양체의 기하학적 매장에 의해 특성화하기.
• 곡선이 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 놓인 곡선과 F-동형이 되는 조건을 규명하기.
• 최대 곡선의 자동사상군과 프로젝티브 유니타리군 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$의 부분군 사이의 대응관계 수립하기.

제안 방법

• 곡선 $X$ 위의 유리점 $P_0$에 대해 선형 계열 $D = |(q+1)P_0|$을 사용하여 사상 $\pi: X \to \pi(X)$를 정의하기.
• 이미지 $\pi(X)$의 차수와 차원 $N = \dim D$를 분석하여, 이가 차수 $q+1$임을 보이기.
• 이미지 $\pi(X)$가 $\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$에서 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에 정의된 허미션ian 다양체 위에 놓임을 증명하기.
• 곡선 $X$가 F-최대일 때 사상 $\pi$가 F-동형임을 확립하기.
• $2 \leq M \leq N$인 $M$에 대해 $X$를 $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$에 매장하여, 그 이미지가 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 놓이도록 구성하기.
• 자기사상군 $\mathrm{Aut}_F(X)$의 구조를 이용하여, 이가 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$의 부분군에 포함됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝티브 공간에서 F-최대 곡선이 허미션ian 다양체 위에 놓인 곡선과 F-동형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 F-최대 곡선은 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에 정의된 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 매장된 비특이 곡선으로, $q+1$차수 곡선으로서 매장될 수 있는가?
• RQ3 F-최대 곡선의 자동사상군은 프로젝티브 유니타리군 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 곡선 $X$가 F-최대일 때, $|(q+1)P_0|$에서 유도된 사상 $\pi: X \to \pi(X)$는 F-동형인가?
• RQ5 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 매장된 F-최대 곡선이 존재할 수 있는 최소 차원 $M$은 얼마인가?

주요 결과

• 곡선 $X$가 F-최대일 때 사상 $\pi: X \to \pi(X)$는 F-동형이며, $\pi(X)$는 차수 $q+1$을 가진다.
• $\pi(X)$는 $\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$에서 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에 정의된 허미션ian 다양체 위에 놓여 있으며, 여기서 $N = \dim |(q+1)P_0|$이다.
• 모든 F-최대 곡선 $X$는 어떤 $M$에 대해 $2 \leq M \leq N$을 만족하며, $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 안의 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 놓인 차수 $q+1$의 곡선 $Y$와 F-동형이다.
• 자기사상군 $\mathrm{Aut}_F(X)$는 프로젝티브 유니타리군 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$의 부분군과 동형이다.
• 곡선 $X$가 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에 정의된 비퇴화 허미션ian 다양체 위에 놓인 차수 $q+1$의 곡선 $Y$와 F-비라션럴일 경우, $X$는 F-최대이면서 $Y$와 F-동형임을 보여주어 매장 결과의 역을 확립한다.