[논문 리뷰] Embedding of hyperbolic Coxeter groups into products of binary trees and aperiodic tilings

Alexander Dranishnikov, Viktor Schroeder|ArXiv.org|2005. 04. 28.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 15인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된, 오른쪽 모서리가 있는, 쌍곡선 Coxeter 군을 그들의 색수에 따라 나누어진 이진 트리의 곱공간에 준등거리 임베딩으로 정립한다. 주요 결과는 이러한 군이 색수 $ n $ 에 해당하는 $ n $ 개의 이진 트리 곱공간에 준등거리로 임베딩될 수 있음을 보여주며, 이는 Davis 복합체에 대해 стрictly balanced, 비주기적인 극한 테일링을 갖는 강력한 비주기 테일링을 구성할 수 있음을 의미한다.

ABSTRACT

We prove that a finitely generated, right-angled, hyperbolic Coxeter group can be quasiisometrically embedded into the product of n binary trees, where n is the chromatic number of the group. As application we obtain certain strongly aperiodic tilings of the Davis complex of these groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성된, 오른쪽 모서리가 있는, 쌍곡선 Coxeter 군이 이진 트리의 곱공간에 준등거리로 임베딩됨을 확립하기.
• 필요한 트리 인자 수가 군의 색수와 일치함을 보여주기.
• 임베딩 결과를 응용하여 Davis 복합체에 대해 유한한 타일 수를 갖는 강력한 비주기 테일링을 구성하기.
• 구성된 테일링의 모든 극한 테일링이 또한 강력하게 비주기적임을 보여주기.
• 이를 일반화하여 $ n \geq 2 $ 인 쌍곡선 공간 $ \mathbb{H}^n $ 에 대해 볼록하고 비주기적인 테일링을 생성하기.

제안 방법

• 오른쪽 모서리가 있는 Coxeter 군의 색수 $ n $ 을 곱공간 내 이진 트리 인자의 수로 사용하기.
• 군의 구조와 뉴런 그래프의 색칠을 이용하여 $ \psi: C(\Gamma, S) \to T \times \cdots \times T $ (n번 반복)의 준등거리 임베딩을 구성하기.
• 트리 위의 단순형 거리와 곱공간의 $ \ell^1 $-곱 거리계를 활용하여 대규모 기하학적 성질을 유지하기.
• 임베딩을 군의 Davis 복합체에 적용하여, 타일 기하학과 방향성에 의해 규칙이 포함된 테일링 생성하기.
• 지역 좌표와 색 쌍을 사용하여 정점에서 국소 변형을 통해 유한한 타일 수를 갖는 강력하게 균형 잡힌 볼록 타일 확보하기.
• 면에 대한 가중치 함수를 사용하여 비균형 기하적 실현에서의 비주기성 증명하기. 이는 군의 불변성과 가중치 합의 0이 아닌 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 생성된, 오른쪽 모서리가 있는, 쌍곡선 Coxeter 군은 색수 $ n $ 에 대해 $ n $ 개의 이진 트리 곱공간에 준등거리로 임베딩될 수 있는가?
• RQ2 이러한 임베딩은 Davis 복합체에 대해 유한한 타일 수를 갖는 강력한 비주기 테일링을 구성하는 데 기여하는가?
• RQ3 테일링을 수정하여 $ \mathbb{H}^2 $ 에서 볼록 타일을 얻으면서도 비주기성과 균형을 유지할 수 있는가?
• RQ4 구성된 테일링의 모든 극한 테일링도 강력하게 비주기적인가?
• RQ5 이를 위한 $ n $ 개의 거리 트리 곱공간의 쌍곡선 랭크는 무엇이며, 임베딩 결과와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 색수 $ n $ 를 갖는 유한 생성된, 오른쪽 모서리가 있는, 쌍곡선 Coxeter 군 $ \Gamma $ 는 $ n $ 개의 이진 트리 곱공간에 준등거리로 임베딩될 수 있다.
• 쌍곡면 $ \mathbb{H}^2 $ 는 두 개의 이진 트리 곱공간에 준등거리로 임베딩될 수 있다.
• 모든 $ n $ 에 대해, 가상 코hom로지컬 차원이 $ n $ 인 Gromov 쌍곡선 군 $ \Gamma_n $ 가 존재하며, 이는 $ n $ 개의 이진 트리 곱공간에 준등거리로 임베딩될 수 있다.
• 이를 위한 $ n $ 개의 거리 트리 곱공간의 쌍곡선 랭크는 $ n-1 $ 이며, 이는 $ n $ 개의 자유군 곱공간에도 동일하게 적용된다.
• 모든 오른쪽 모서리가 있고 쌍곡선인 Coxeter 군의 Davis 복합체는 유한한 타일 수를 갖는 강력한 비주기 테일링을 갖는다. 또한 모든 극한 테일링도 강력하게 비주기적이다.
• 모든 $ n \geq 3 $ 에 대해, 유한한 타일 유형 수를 갖는 볼록한 $ 2n $-각형으로 이루어진, 강력하게 균형 잡힌 비주기 테일링이 $ \mathbb{H}^2 $ 에 존재하며, 이는 비주기적인 극한 테일링을 갖는다.