[논문 리뷰] Embeddings of discrete groups and the speed of random walks

Assaf Naor, Yuval Peres|ArXiv.org|2007. 08. 07.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 거칠기 없이 부드러운 성질을 가진 바나흐 공간으로의 이sovariant 압축 지수에 대한 날카운 상계를 설정하며, 이를 단순 랜덤 워크의 속도와 연결한다. $X$가 거칠기 없이 부드러운 성질이 $p$인 바나흐 공간일 때, 이sovariant 힐버트 압축 지수는 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$를 만족한다. 여기서 $\beta^{*}(G)$는 단순 랜덤 워크에서 기대 거리의 증가율을 측정한다. 이는 테사라의 질문을 해결하며, 게언트너와 카민커의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

For a finitely generated group G and a banach space X let α^*_X(G) (respectively α^#_X(G)) be the supremum over all α\ge 0 such that there exists a Lipschitz mapping (respectively an equivariant mapping) f:G o X and c>0 such that for all x,y\in G we have \|f(x)-f(y)\|\ge c\cdot d_G(x,y)^α. In particular, the Hilbert compression exponent (respectively the equivariant Hilbert compression exponent) of G is α^*(G)=α^*_{L_2}(G) (respectively α^#(G)= α_{L_2}^#(G)). We show that if X has modulus of smoothness of power type p, then α^#_X(G)\le \frac{1}{pβ^*(G)}. Here β^*(G) is the largest β\ge 0 for which there exists a set of generators S of G and c>0 such that for all t\in \N we have \E\big[d_G(W_t,e)\big]\ge ct^β, where \{W_t\}_{t=0}^\infty is the canonical simple random walk on the Cayley graph of G determined by S, starting at the identity element. This result is sharp when X=L_p, generalizes a theorem of Guentner and Kaminker and answers a question posed by Tessera. We also show that if α^*(G)\ge 1/2 then α^*(G\bwr \Z)\ge \frac{2α^*(G)}{2α^*(G)+1}. This improves the previous bound due to Stalder and ValetteWe deduce that if we write \Z_{(1)}= \Z and \Z_{(k+1)}\coloneqq \Z_{(k)}\bwr \Z then α^*(\Z_{(k)})=\frac{1}{2-2^{1-k}}, and use this result to answer a question posed by Tessera in on the relation between the Hilbert compression exponent and the isoperimetric profile of the balls in G. We also show that the cyclic lamplighter groups C_2\bwr C_n embed into L_1 with uniformly bounded distortion, answering a question posed by Lee, Naor and Peres. Finally, we use these results to show that edge Markov type need not imply Enflo type.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군이 거칠기 없이 부드러운 성질이 $p$인 바나흐 공간으로의 이sovariant 압축 지수에 대한 날카운 상계를 설정하는 것.
• 군에서의 랜덤 워크 속도와 그 군의 바나흐 공간에서의 기하학적 임베딩 성질 간의 연결 고리 설정.
• 램플라이터 군의 힐버트 압축 지수에 관한 열린 문제와 마코프 유형과 엔플로 유형 간의 관계에 대한 문제 해결.
• 반복 램플라이터 군 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$에 대한 정확한 힐버트 압축 지수 값 조사.

제안 방법

• 모든 $\alpha \geq 0$ 에 대해 $\|f(x)-f(y)\| \geq c \cdot d_G(x,y)^\alpha$ 를 만족하는 이sovariant 리프시츠 임베딩 $f: G \to X$ 가 존재할 때, $\alpha^{\#}_{X}(G)$ 를 그 최대값으로 정의한다.
• 단순 랜덤 워크 $\{W_t\}$ 가 카일리 그래프에서 진행할 때, 기대 거리 $\mathbb{E}[d_G(W_t,e)]$ 가 적어도 $ct^\beta$ 의 속도로 증가하는 최대 $\beta \geq 0$ 를 $\beta^{*}(G)$ 로 정의한다.
• 대상 바나흐 공간 $X$ 의 거칠기 없이 부드러운 성질이 $p$일 때, 부등식 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 를 유도하며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• $L_p$ 공간에 적용하여 $\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 를 도출하고, $X = L_p$ 일 때의 날카움을 증명한다.
• 이 상계를 이용해 반복 램플라이터 군에 대한 정확한 힐버트 압축 지수를 유도한다: $\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$.
• 이 결과를 바탕으로 순환 램플라이터 군 $C_2 \wr C_n$ 이 $L_1$ 으로의 임베딩에서 균일한 왜곡을 가짐을 보이며, 리, 나오르, 페르스의 질문에 답한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 생성 군 $G$ 와 거칠기 없이 부드러운 성질이 $p$인 바나흐 공간 $X$ 에 대해 부등식 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 가 성립하는가?
• RQ2 모든 유한 생성 애먼 군 $G$ 에 대해 $\alpha^{*}(G \wr \mathbb{Z}) = \frac{2\alpha^{*}(G)}{2\alpha^{*}(G) + 1}$ 이 성립하는가?
• RQ3 모든 유한 생성 애먼 군 $G$ 가 $\alpha^{*}(G) \geq \frac{1}{2}$ 를 만족하는가?
• RQ4 에지 마코프 유형 2가 어떤 $p > 1$ 에 대해 엔플로 유형 $p$ 를 암시하는가?
• RQ5 에지 마코프 유형 2를 가지지만 어떤 $p > 1$ 에 대해서도 엔플로 유형을 가지지 않는 유한 생성 군이 존재하는가?

주요 결과

• 이 논문은 거칠기 없이 부드러운 성질이 $p$인 임의의 바나흐 공간 $X$ 에 대해 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 의 날카운 상계를 설정하며, 게언트너와 카민커의 결과를 일반화한다.
• $X = L_p$ 일 때, 상계 $\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 는 날카롭고, 특정 경우에 등호가 성립한다.
• 반복 램플라이터 군 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$ 의 힐버트 압축 지수는 정확히 $\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$ 이며, 테사라의 질문을 해결한다.
• 순환 램플라이터 군 $C_2 \wr C_n$ 이 $L_1$ 으로의 임베딩에서 균일한 왜곡을 가지며, 리, 나오르, 페르스의 질문에 답한다.
• 결과는 에지 마코프 유형 2가 어떤 $p > 1$ 에 대해서도 엔플로 유형 $p$ 를 암시하지 않음을 시사하며, 자연스러운 추측에 대한 반례를 제공한다.
• $1 < p < 2$ 에 대해 $\alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z})$ 에 대한 경계를 제시하며, $\frac{p}{2p-1} \leq \alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}) \leq \min\left\{\frac{p+1}{2p}, \frac{4}{3p}\right\}$ 를 보인다.