[논문 리뷰] Embeddings of $\mathbb{Q}$ into Some Finitely Presented Groups.

James Belk, James Hyde외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 체계적으로 유한 생성된 군—구체적으로 톰슨 군 $T$의 업프로젝션—을 구성하여 유리수의 덧셈군 $\bbQ$를 포함함으로써, $\bbQ$에 대한 히그먼 임베딩 정리의 명시적 실현을 이룬다. 또한 원주 위의 호메오멀포즘 군으로서 두 생성자로 생성되고 유형 $\rF_\by$인 단순 군 $T\rs A$를 도입하여, $\bbQ$를 포함함으로써 $\bbQ$에 대한 보운-히그먼 정리의 명시적 실현을 달성한다.

ABSTRACT

We observe that the lift of Thompson's group $T$ to the real line is finitely presented and contains the additive group $\mathbb{Q}$ of the rational numbers. This gives an explicit realization of the Higman embedding theorem for $\mathbb{Q}$, answering a Kourovka notebook question of Martin Bridson and Pierre de la Harpe. We also prove that $\mathbb{Q}$ can be embedded into a finitely presented simple group, explicitly realizing the Boone-Higman theorem for $\mathbb{Q}$. Specifically, we describe a simple group $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ of homeomorphisms of the circle that contains $\mathbb{Q}$, and we prove that $T\!\hspace{0.1em}\mathcal{A}$ is two-generated and has type $\mathrm{F}_\infty$. Our method for proving finiteness properties extends existing techniques to allow for groups of homeomorphisms that are locally more complicated than the standard Thompson groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성된 군에 $\bbQ$를 포함시킴으로써, 덧셈 유리수군에 대한 히그먼 임베딩 정리의 명시적 실현을 제공한다.
• 마르틴 브리드슨과 피에르 데 라 하르프가 쿠로브카 노트북에서 제기한, 그러한 임베딩의 존재성에 관한 질문에 답한다.
• 유한 생성된 단순 군을 구성하여 $\bbQ$를 부분군으로 포함함으로써, $\bbQ$에 대한 보운-히그먼 정리의 실현을 달성한다.
• 기존의 유한성 성질을 증명하는 기법을 표준 톰슨 군보다 더 복잡한 국소적 구조를 가진 호메오멀포즘 군에 확장한다.

제안 방법

• 톰슨 군 $T$를 실수선으로 업프로젝션하여, $\bbQ$를 부분군으로 포함하는 유한 생성된 군을 얻는다.
• 원주 위의 방향을 유지하는 호메오멀포즘의 군인 $T\rs A$를 구성하여, $\bbQ$를 포함하고 단순성을 증명한다.
• 유한성 성질 기법의 확장을 통해 $T\rs A$가 두 생성자로 생성되고 유형 $\rF_\by$임을 보이며, 더 복잡한 국소 역학에 대한 기법을 적용한다.
• 표준 톰슨 군과 국소적으로 동형이 아닌 군에 대해서도 $\rF_\by$-유한성 증명 기법을 일반화한다.
• 실수선 위에서의 $T$의 업프로젝션의 구조를 이용하여 $\bbR$ 위의 작용을 분석하고, 자연스럽게 $\bbQ$ 부분군을 추출한다.
• $T\rs A$의 원주 위의 작용과 원소의 역학적 성질을 분석함으로써 단순성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 덧셈 유리수군 $\bbQ$는 명시적으로 유한 생성된 군에 임베딩될 수 있는가? 이를 통해 히그먼 임베딩 정리가 구성적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 유한 생성된 단순 군 중에서 $\bbQ$를 부분군으로 포함하는 것이 존재하는가? 이를 통해 $\bbQ$에 대한 보운-히그먼 정리가 실현되는가?
• RQ3 표준 톰슨 군보다 더 복잡한 국소적 구조를 가진 원주 호메오멀포즘 군에 대해 $\rF_\by$와 같은 유한성 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 톰슨 군 $T$의 실수선 위로의 업프로젝션의 구조는 무엇이며, 어떻게 자연스럽게 $\bbQ$를 포함하는가?
• RQ5 더 풍부한 국소 역학을 가진 군을 다룰 수 있도록, $\rF_\by$-유한성 증명 기법을 어떻게 수정하거나 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 톰슨 군 $T$의 실수선 위로의 업프로젝션은 유한 생성되며, 덧셈 군 $\bbQ$를 부분군으로 포함한다.
• $T\rs A$는 원주 위의 호메오멀포즘 군으로서 명시적으로 구성되었으며, $\bbQ$를 포함하고 단순성이 증명되었다.
• $T\rs A$는 두 생성자로 생성되고 유형 $\rF_\by$를 가지며, 이는 모든 $n$에 대해 유한 $n$-스켈레톤을 가진 분류공간을 가짐을 의미한다.
• 기존의 유한성 성질 증명 기법을 표준 톰슨 군보다 더 복잡한 국소 행동을 가진 호메오멀포즘 군에 확장하였다.
• 이 구성은 $\bbQ$에 대한 히그먼 임베딩 정리의 구체적이고 명시적인 실현을 제공한다.
• 이 구성은 $\bbQ$에 대한 보운-히그먼 정리의 구체적이고 명시적인 실현을 제공한다.