[논문 리뷰] Emergence of Krylov complexity through quantum walks: An exploration of the quantum origins of complexity

Dimitrios Patramanis, Watse Sybesma|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 그래프上的 연속시간 양자 보행을 Krylov(전개) 복잡성과 연결하고, Krylov 체인이 그래프 축소에서 어떻게 나타나는지 보이고 SYK 모델에 대한 Lanczos 계수와 하이퍼큐브의 Krylov 복잡성을 계산하며 회로 복잡성과 비교한다.

ABSTRACT

In this work we study the relationship between quantum random walks on graphs and Krylov/spread complexity. We show that the latter's definition naturally emerges through a canonical method of reducing a graph to a chain, on which we can identify the usual Krylov structure. We use this identification to construct families of graphs corresponding to special classes of systems with known complexity features and conversely, to compute Krylov complexity for graphs of physical interest. The two main outcomes are the analytic computation of the Lanczos coefficients for the SYK model for an arbitrary number $q$ of interacting fermions and the complete characterization of Krylov complexity for the hypercube graph in any number of dimensions. The latter serves as the starting point for an in-depth comparison between Krylov and circuit complexities as they purportedly arise in the context of black holes. We find that while under certain conditions Krylov complexity follows the growth and saturation pattern ascribed to such systems, the timescale at which saturation happens can generally be shorter than what is predicted by random unitary circuits, due to the effects of quantum speed-ups commonly occurring when comparing quantum and classical random walks.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 연속시간 양자 보행이 그래프-체인 환원을 통해 Krylov 복잡성이 어떻게 나타나는지 보여준다.
• 그래프 구조와 Lanczos 계수 간의 관계를 통해 Krylov/전개 복잡성을 설명한다.
• 임의의 q를 가진 SYK 모델에 대한 해석적 Lanczos 계수를 계산한다.
• 임의의 차원에서 하이퍼큐브 그래프에 대한 Krylov 복잡성을 규명한다.
• Krylov 복잡성의 증가를 회로 복잡성과 비교하고 블랙홀에 대한 시사점을 논의한다.

제안 방법

• 그래프의 CTQW를 이웃 상태를 이용해 Krylov 기저를 정의하고 삼대각 Krylov(Lanczos) 체인으로 매핑한다.
• 이웃 간/내에서의 그래프 엣지(E_n, I_n)로부터 Lanczos 계수 a_n, b_n의 명시적 공식을 도출한다.
• 체인에서의 시간 진폭을 표현하고 Krylov 복잡성을 체인상의 평균 거리로 정의한다, C_K = sum_n n |phi_n(t)|^2.
• 임의의 그래프에 대해 Krylov 체인을 얻는 일반 환원 스킴을 제시한다.
• 특정 그래프 계열을 분석하여 b_n의 서로 다른 거동(상수, sqrt(n), sqrt(n(n-1)), n)을 구현한다.
• 임의의 q를 갖는 SYK 모델에 대한 해석적 Lanczos 계수를 계산하고 임의 차원의 하이퍼큐브 그래프에 대한 Krylov 복잡성을 규명한다.

Figure 1 : The graph G 4 , which is the outcome of the fusion of two complete binary trees of order 4 at the leaves. The vertical organization of vertices illustrates the columns mentioned the main text.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프에서의 연속시간 양자 보행이 어떻게 Lanczos 계수 a_n, b_n을 갖는 Krylov 체인에 대응하는가?
• RQ2 그래프 구조(V_n, E_n, I_n)를 어떻게 이용해 Lanczos 계수 및 따라서 Krylov 복잡도 증가를 한정하고 결정할 수 있는가?
• RQ3 임의의 페르미온 수 q를 갖는 SYK 모델에 대한 해석적 Lanczos 계수는 무엇인가?
• RQ4 임의 차원에서의 하이퍼큐브 그래프의 Krylov 복잡성 동작은 어떠하며, 관련 홀로그래프 맥락에서 회로 복잡성과 비교하면 어떤가?
• RQ5 어떤 그래프 구성과 초기 상태에서 Krylov 복잡도와 회로 복잡도가 유사한 증가 및 포화 패턴을 보이는가?

주요 결과

• Krylov 체인상의 평균 거리가 CTQWs에 대한 자연스러운 Krylov/전개 복잡성의 척도가 된다.
• Lanczos 계수 a_n, b_n은 그래프 의존 표현식으로 주어지며 a_n = I_n / V_n 및 b_n = E_{n-1} / sqrt(V_n V_{n-1})로, 그래프 위상학을 복잡도 증가와 연결한다.
• 임의의 q에 대해 SYK 모델의 해석적 Lanczos 계수를 얻어 이 모델에 대한 명시적 Krylov 복잡도 계산을 가능하게 한다.
• 하이퍼큐브 그래프의 Krylov 복잡성이 임의 차원에서 완전히 특징지어져 회로 복잡성과의 비교 벤치마크를 제공한다.
• 일정 조건에서 Krylov 복잡성은 블랙홀 맥락과 관련된 증가 및 포화 패턴을 반영하지만, 무작위 단위회로에 비해 양자 속도향상으로 포화 시간이 더 짧을 수 있다.
• 이 프레임워크는 양자 보행에서의 양자 속도향상이 고전적이거나 무작위 단위계 분석에 비해 기대 포화 시간을 바꿀 수 있음을 보여준다.

Figure 2 : The graph of a cube with its vertices labeled for reference.