[논문 리뷰] Emergence of scale invariance and efficiency in a racetrack betting market

Shintaro Mori, Masato Hisakado|ArXiv.org|2009. 11. 17.

Sports Analytics and Performance참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일본 레이싱 협회(JRA) 경기장 베판 시장에서 승리 베판 비율의 시계열 분석을 통해 척도 불변성과 시장 효율성의 탄생을 조사한다. 이중 척도 극한에서 폴리아 유사 투표 모델을 사용하여, 전체 범위 $ 0 \leq x_0, x_1 \leq 1 $ 에서 승리한 말의 누적 분포가 $ x_1 = x_0^\beta $ 로 척도 불변성을 보이며, $ \beta = 1.81 $ 이다. 이는 집단적 베판 행동의 자율적 동적 구조에 의해 이끌린 정확한 척도 불변성을 드러낸다.

ABSTRACT

We study the time change of the relation between the rank of a racehorse in the Japan Racing Association and the result of victory or defeat. Horses are ranked according to the win bet fractions. As the vote progresses, the racehorses are mixed on the win bet fraction axis. We see the emergence of a scale invariant relation between the cumulative distribution function of the winning horse $x_{1}$ and that of the losing horse $x_{0}$. $x_{1}\propto x_{0}^α$ holds in the small win bet fraction region. We also see the efficiency of the market as the vote proceeds. However, the convergence to the efficient state is not monotonic. The time change of the distribution of a vote is complicated. Votes resume concentration on popular horses, after the distribution spreads to a certain extent. In order to explain scale invariance, we introduce a simple voting model. In a `double' scaling limit, we show that the exact scale invariance relation $x_{1}=x_{0}^α$ holds over the entire range $0\le x_{0},x_{1}\le 1$.

연구 동기 및 목표

• JRA 경기에서 승리 베판 비율의 시간적 변화를 분석하고 말 순위의 잠재적 패턴을 규명한다.
• 승리한 말과 지는 말의 누적 분포 간의 척도 불변성 탄생을 조사한다.
• 승리한 말과 지는 말의 누적 분포 간 척도 불변성을 설명하기 위해 두 종류의 베판자로 구성된 단순한 확률적 투표 모델을 제시한다.
• 정확한 척도 불변성 $ x_1 = x_0^\alpha $ 이 전체 범위 $[0,1]$ 에서 성립하는 조건을 탐구한다.
• 시장 효율성에 수렴하는 과정과 베판 과정 중 투표 분포의 비단조화적 동역학을 평가한다.

제안 방법

• 2008년도 JRA 경기 3,250건의 시계열 데이터를 분석하였으며, 공개 배당률을 이용해 변환한 승리 베판 비율 $ x^{r}_{i,k} = \frac{0.788}{O^{r}_{i,k}-0.1} $ 를 사용하여 정규화하여 총합이 1이 되도록 조정하였다.
• 모든 경기 간 시간적 일치를 위해 평균 공개 승리 풀 $ V_r $ 을 기반으로 베판 과정을 시간 변수 $ t $ 로 매핑하였다.
• 베판자들이 현재 투표 비율에 비례하여 투표하는 확률적 투표 모델을 도입하였으며, 이는 승리한 말($ \mu=1 $)과 지는 말($ \mu=0 $)의 두 카테고리로 구성된 폴리아 우산 유사 과정을 시뮬레이션한다.
• 모델은 상대적 투표 확률을 파rameter $ s_1 $ 과 $ s_0 $ 에 비례하도록 할당하여 열린 열역학 극한에서 감마 분포를 따르는 투표 수를 유도한다.
• 이중 척도 극한 $ Z_0 \to \infty $, $ s_1, s_0 \to 0 $ 에서 정확한 척도 불변성 $ x_1 = x_0^\alpha $ 이 도출되었으며, 이때 $ \alpha = s_1/s_0 $ 는 고정되어 있다.
• 모델이 가중치 $ s_1 $ 과 $ s_0 $ 를 가진 무작위 공 제거 과정과 동치임을 보였으며, 이는 다양한 $ \alpha $ 값에서 정확한 서서히 변화하는 패tern을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 JRA 경기에서 베판 과정의 변화 동안 승리한 말의 누적 분포는 지는 말의 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 작은 승리 베판 비율 영역에서 관찰된 거듭제곱 법칙 스케일링 $ x_1 \propto x_0^{1.81} $ 을 뒷받침하는 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 정확한 척도 불변성 $ x_1 = x_0^\alpha $ 이 전체 구간 $ [0,1] $ 에서 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 왜 시장 효율성에 수렴하는 과정이 비단조화적이며, 초기 분산 이후에 인기 있는 말들로 다시 투표가 집중되는가?
• RQ5 왜 이중 척도 극한 $ Z_0 \to \infty $, $ s_1, s_0 \to 0 $ 이면서 $ \alpha = s_1/s_0 $ 가 고정된 조건에서 정확한 척도 불변성이 가능해지는가?

주요 결과

• 작은 승리 베판 비율 영역에서 승리한 말의 누적 분포 $ x_1 $ 는 $ x_1 \propto x_0^{1.81} $ 로 척도 불변성이 강하게 나타나며, 이는 강력한 척도 불변성을 시사한다.
• 시간이 지남에 따라 시장 효율성이 나타나지만, 이 수렴 과정은 비단조화적이며, 초기에는 많은 말들 사이로 투표가 퍼지다가 다시 인기 있는 말들로 재집중된다.
• 이중 척도 극한 $ Z_0 \to \infty $, $ s_1, s_0 \to 0 $ 이면서 $ \alpha = s_1/s_0 $ 가 고정된 조건에서 전체 범위 $ 0 \leq x_0, x_1 \leq 1 $ 에서 정확한 관계 $ x_1 = x_0^\alpha $ 가 성립한다.
• 척도 불변성은 두 카테고리의 폴리아 유사 투표 모델에서 발생하며, 이 과정에서 투표 비율은 형상 매개수 $ s_1 $ 과 $ s_0 $ 를 가진 감마 분포를 따른다.
• 모델은 가중치 $ s_1 $ 과 $ s_0 $ 를 가진 무작위 공 제거 과정과 동치이며, 이는 다양한 $ \alpha $ 값에서 정확한 서서히 변화하는 패턴을 생성한다.
• 이중 척도 극한은 필수적이다: $ Z_0 \to \infty $ 가 아니면 시스템은 단일 우세한 말로 붕괴된다; $ s_1, s_0 \to 0 $ 가 아니면 척도 불변성이 붕괴된다.