[논문 리뷰] Emergent non-Hermitian contributions to the Ehrenfest and Hellmann-Feynman theorems

Georgios Konstantinou, Kyriakos Kyriakou외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중연결 공간 또는 주기적 경계 조건을 가진 시스템(예: 아하론وف-보hm 효과 또는 매개변수 공간에서의 시스템)에 에르엔페스트 정리와 헬만-파인만 정리를 적용할 때 비헤르미트 경계 기여항이 자연스럽게 나타남을 보여준다. 이러한 기여항은 일반화된 전류와 소스 항이 포함된 수정된 연속방정식에서 기인하며, 허비바이얼 정리 위반과 같은 오랫동안 남아있던 양자역학적 역설을 해결함으로써 비헤르미트 해밀토니안을 사전에 요구하지 않고도 정리의 타당성을 복원한다.

ABSTRACT

We point out that two of the most important theorems of Quantum Mechanics, the Ehrenfest theorem and the Hellmann-Feynman theorem, lack in their standard form important information: there are cases where non-Hermitian boundary contributions emerge. These contributions actually appear naturally, in order for the above theorems to be valid and applicable (i.e. in multiply-connected spaces), and this occurs for physical quantities that are not represented by well-defined self-adjoint operators (such as the position operator in a periodic potential, or in general Aharonov-Bohm configurations, either in real or in an arbitrary parameter-space, in the sense of Berry's adiabatic and cyclic procedures). In this short note, we report modifications of these two theorems when such non-Hermiticities appear, and we demonstrate how they resolve certain Quantum Mechanical paradoxes (most of them having been noticed in the past as violations of the so-called Hypervirial theorem in Quantum Chemistry). This resolution of paradoxes (essentially the re-establishment of applicability of the Ehrenfest theorem even in multiply-connected spaces) always proceeds through the appearance of certain generalized currents, in a theoretical picture with interesting structure (where a generalized continuity equation with a sink term shows up naturally).

연구 동기 및 목표

• 다중연결 양자 시스템에 적용된 표준 에르엔페스트 및 헬만-파인만 정리의 공식화에서 발생하는 모순을 규명하고 해결하는 것.
• 주기적 위치에너지나 아하론وف-보흐 구성이 있는 시스템에서 경계 조건에 의해 비헤르미트 기여항이 자연스럽게 발생함을 보여주는 것.
• 특정 양자화학 응용 분야에서 허비바이얼 정리 위반이 나타나는 등의 상황에서 이러한 정리의 타당성을 복원하는 것.
• 이러한 비헤르미트 효과가 비헤르미트 해밀토니안의 구조와 관련이 있는 것이 아니라, 위상적 및 경계적 구조에서 기인함을 보여주는 것.
• 이러한 기여항을 설명하기 위해 소스 항이 포함된 연속방정식을 사용한 일반화된 이론적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 위상적 제약에서 기인하는 비헤르미트 경계 기여항을 포함한 수정된 에르엔페스트 및 헬만-파인만 정리를 유도하는 것.
• 다중연결 공간 또는 매개변수 공간에서 경계를 가로질러 흐르는 유량을 설명하는 일반화된 전류를 도입하는 것.
• 이러한 경계 기여항이 존재하는 상황에서의 보존 법칙을 묘사하기 위해 소스 항이 포함된 일반화된 연속방정식을 제시하는 것.
• 주기적 경계 조건과 아하론오-보흐 유형의 구성이 있는 시스템에 수정된 정리를 적용하여 일관성을 검증하는 것.
• 베리의 단지적 및 순환 기하 위상 형식을 사용하여 매개변수 공간 의존성과 기여하는 비헤르미트 성질을 분석하는 것.
• 기존의 양자화학 역설(예: 허비바이얼 정리 위반)을 이러한 기여하는 경계항의 관점에서 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 표준 에르엔페스트 및 헬만-파인만 정리는 다중연결 양자 시스템에선 실패하는 것처럼 보이는가?
• RQ2 이 정리들에서 어떤 비헤르미트 기여항이 나타나며, 그 기원은 무엇인가?
• RQ3 주기적 경계 조건 또는 아하론오-보흐 효과가 있는 시스템에서 이러한 정리의 타당성을 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ4 이러한 비헤르미트 기여항은 해밀토니안의 구조와 관련이 있는가, 아니면 순수하게 경계 및 위상적 효과에서 기인하는가?
• RQ5 소스 항이 포함된 일반화된 연속방정식은 이러한 시스템에서 양자역학적 역설의 해결을 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 다중연결 공간에 적용된 에르엔페스트 및 헬만-파인만 정리에서는 비헤르미트 경계 기여항이 허미트 해밀토니안을 가진 경우에도 자연스럽게 나타남.
• 이러한 기여항은 일반화된 전류에서 기인하며, 비헤르미트 연산자에서 기인하는 것이 아니라 위상적 또는 주기적 경계 조건과 관련됨.
• 수정된 정리는 이전에 허비바이얼 정리 위반이 나타났던 시스템에서 일관성을 복원함.
• 소스 항이 포함된 일반화된 연속방정식은 이러한 기여하는 비헤르미트 효과가 존재하는 상황에서 보존 법칙을 자연스럽게 묘사함.
• 비헤르미트 해밀토니안을 도입하지 않고도 경계 기여항을 적절히 다룸으로써 역설의 해결이 달성됨.
• 이러한 발견들은 이 맥락에서 비헤르미트성이 '기원하는' 것이며 위상적인 성격을 지닌다는 것을 보여주며, 기본적이거나 현상학적인 것이 아님.