[논문 리뷰] Emergent universality in critical quantum spin chains: entanglement Virasoro algebra

Qi Hu, Adrián Franco Rubio외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 23.

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한 줄 요약

이 논문은 임계 양자 스핀 체인에서의 축소 밀도 행렬의 슈미트 벡터—이전에 간과되었던 것—가 바oundary conformal field theory(BCFT)에 해당하는 바일로 대칭을 실현함으로써 잠재적 보편성을 나타냄을 밝혀낸다. 저자들은 $ H_n $라는 격자 연산자를 구성하였으며, 이들의 행렬 원소는 BCFT에서 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $의 행렬 원소로 유일하게 수렴함을 확인하였고, 이는 임계 이징, XY, XX 모델에서 수치적으로 검증되었다.

ABSTRACT

Entanglement entropy and entanglement spectrum have been widely used to characterize quantum entanglement in extended many-body systems. Given a pure state of the system and a division into regions $A$ and $B$, they can be obtained in terms of the $Schmidt~ values$, or eigenvalues $λ_α$ of the reduced density matrix $ρ_A$ for region $A$. In this paper we draw attention instead to the $Schmidt~ vectors$, or eigenvectors $|v_α angle$ of $ρ_A$. We consider the ground state of critical quantum spin chains whose low energy/long distance physics is described by an emergent conformal field theory (CFT). We show that the Schmidt vectors $|v_α angle$ display an emergent universal structure, corresponding to a realization of the Virasoro algebra of a boundary CFT (a chiral version of the original CFT). Indeed, we build weighted sums $H_n$ of the lattice Hamiltonian density $h_{j,j+1}$ over region $A$ and show that the matrix elements $\langle v_αH_n |v_{α'} angle$ are universal, up to finite-size corrections. More concretely, these matrix elements are given by an analogous expression for $H_n^{ iny ext{CFT}} = \frac 1 2 (L_n + L_{-n})$ in the boundary CFT, where $L_n$'s are (one copy of) the Virasoro generators. We numerically confirm our results using the critical Ising quantum spin chain and other (free-fermion equivalent) models.

연구 동기 및 목표

• 얽힘 엔트로피와 스펙트럼을 초월하여 얽힌 양자 다체계의 슈미트 벡터에 숨겨진 보편적 구조를 밝혀내는 것.
• 임계 양자 스핀 체인에서의 슈미트 벡터가 바일로 대칭의 실현을 지니는지 조사하는 것, 이는 잠재적 등각 대칭의 신호이다.
• 슈미트 기저에서의 행렬 원소를 통해 격자 해밀토니안 밀도와 바일로 생성자 간의 정량적 연결을 구축하는 것.
• 이론적 보편성의 수치적 검증을 위해 이종 임계 모델(예: 이징, XY, XX 체인) 간의 행렬 원소 수렴성을 확인하는 것.
• 유한한 크기의 시스템에서조차도 임계 스핀 체인의 저에너지 물리학에서 유래된 잠재적 바일로 대칭이 어떻게 나타나는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 임계 체인의 영역 A에 대해, 등각 매핑과 격자 기하학에서 유도된 공간 가중치를 사용하여 격자 해밀토니안 밀도 $ h_{j,j+1} $의 가중합 $ H_n $을 정의한다.
• 유한성과 경계 CFT와의 대응을 확보하기 위해 $ H_n $을 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $로 구성한다. 여기서 $ L_n $은 바일로 생성자이다.
• 축소 밀도 행렬 $ \rho_A $의 슈미트 기저 $ \{ |v_\alpha \rangle \} $에서 행렬 원소 $ \langle v_\alpha | H_n | v_{\alpha'} \rangle $를 계산한다.
• 이 행렬 원소를 CFT의 대응치인 $ \langle \psi_\alpha | H_n^{\text{CFT}} | \psi_{\alpha'} \rangle $와 비교한다. 여기서 $ H_n^{\text{CFT}} = \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $이다.
• 유한 체적 스케일링과 선형 외삽을 사용하여 수렴성과 유한 체적 수정을 평가한다.
• 자기적 이징, XY, XX 스핀 체인에 이 방법을 적용하며, 수치적 검증을 위해 페르미온 매핑과 정확한 대각화를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 양자 스핀 체인의 슈미트 벡터는 얽힘 스펙트럼을 초월해 보편적인 대수적 구조를 지니는가?
• RQ2 슈미트 기저에서 격자 해밀토니안 밀도의 행렬 원소가 경계 CFT의 바일로 생성자 작용을 재현할 수 있는가?
• RQ3 이 잠재적 바일로 대칭은 이징, XY, XX 체인과 같은 다양한 임계 모델에 걸쳐 견고한가?
• RQ4 유한 체적 효과는 슈미트 벡터의 행렬 원소가 CFT 대응치로 수렴하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 자유 페르미온 등가 모델에서 수치적 방법을 통해 잠재적 바일로 대칭을 식별하고 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 격자 연산자 $ H_n $의 슈미트 기저에서의 행렬 원소 $ \langle v_\alpha | H_n | v_{\alpha'} \rangle $는 유한 체적 수정을 제외하고는 경계 CFT에서의 $ \frac{1}{2}(L_n + L_{-n}) $의 행렬 원소로 유일하게 수렴한다.
• 임계 이징 체인의 경우, 얽힘 스펙트럼이 노이만 경계 조건을 가진 $ |\sigma\rangle $ 카르디 상태의 스케일링 차원과 일치하여 BCFT 대응을 확인한다.
• XX 모델($ \gamma = 0 $)에서는 슈미트 벡터가 콤팩트화 반경 $ r = 1 $인 자유 보존 CFT와 일치하며, U(1) 및 $ Z_2 $ 대칭성에 의해 디세너시가 발생한다.
• XX 모델에서 $ 2N = 8192 $일 때의 수치 분석은 행렬 원소의 수렴성과 유한 체적 수정 $ \mathcal{F}^n_{\alpha\alpha'} $를 보여주며, 보편성 추측을 지지한다.
• 선형 외삽을 통해 추정된 매개변수 $ \epsilon \approx 0.042 $는 다양한 모델에서 정확한 CFT 값으로부터의 유한 체적 이탈을 정량화한다.
• 잠재적 바일로 대칭은 비상호작용(XX) 및 상호작용(이징) 임계 점을 포함한 다양한 보편성 클래스에서 견고하며, 보편성의 타당성을 확인한다.