[논문 리뷰] Empirical and sequential empirical copula processes under serial dependence

Axel Bücher, Stanislav Volgushev|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 11.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최소한의 부드러움 조건 하에 엄격히 정적이고 약하게 의존하는 다변량 시간열에 대해 경험적 및 순차 경험 복소 과정의 渐近 이론을 확장한다. 기능적 델타 방법을 사용하여, 복소 과정의 연속적 편도수가 필요 없이 경험 복소 과정의 약한 수렴과 그 순차적 변형을 확립함으로써, 순차적 의존성 하에서 강건한 추론과 부트스트랩 일致성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The empirical copula process plays a central role for statistical inference on copulas. Recently, Segers (2011) investigated the asymptotic behavior of this process under non-restrictive smoothness assumptions for the case of i.i.d. random variables. In the present paper we extend his main result to the case of serial dependent random variables by means of the powerful and elegant functional delta method. Moreover, we utilize the functional delta method in order to obtain conditional consistency of certain bootstrap procedures. Finally, we extend the results to the more general sequential empirical copula process under serial dependence.

연구 동기 및 목표

• Seg어스(2011)의 경험 복소 과정에 대한 약한 수렴 결과를 엄격히 정적이고 약하게 의존하는 수열로 확장하기 위해.
• 기능적 델타 방법을 사용하여 순차적 의존성 하에서 복소 과정 추론을 위한 부트스트랩 절차의 조건부 일관성을 확립하기 위해.
• 루셴도르프(1976)의 순차 경험 과정 결과를 약하게 의존하는 조건 하에서 순차 경험 복소 과정으로 일반화하기 위해.
• 약한 수렴이 성립하는 데 필요한 최소한의 부드러움 조건—오직 복소 과정의 연속성—을 제공함으로써 실제 복소 과정 모델에의 적용 가능성을 향상시키기 위해.
• 기능적 델타 방법 기법을 활용하여 복소 과정 기반의 시간열 추론에 대한 기존의 점근 이론을 통합하고 강화하기 위해.

제안 방법

• 기능적 델타 방법을 적용하여 순차 경험 과정의 약한 수렴을 경험 복소 과정의 약한 수렴과 연결한다.
• 기능적 델타 방법을 사용하여 최소한의 부드러움 조건 하에서 순차 경험 복소 과정 C#_n과 C+_n의 약한 수렴을 유도한다.
• 최소한의 가정으로서 조건 2.1(𝑈_𝑖 위에서 경험 과정의 약한 수렴)과 조건 3.1(순차 경험 과정의 약한 수렴)을 도입한다.
• Ψ 및 Γ 사상의 하다마르드 미분 가능성(하드마르드 미분 가능성)을 활용하여 경험 과정의 약한 수렴을 복소 과정으로 이전한다.
• 한계 분포를 가우시안 필드로 유도한다: G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u) 및 G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ ∂_p C(u) B#_C(1,u(p)).
• 경험 분포 함수의 일반화된 역함수와 확률적 적분 변환을 사용하여 경험 복소 과정을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순차적 의존성 하에서 경험 복소 과정이 약한 수렴을 보일 수 있는 최소한의 부드러움 조건은 무엇인가?
• RQ2 복소 과정의 미분 가능성을 가정하지 않고도 기능적 델타 방법을 사용하여 순차 경험 복소 과정의 약한 수렴을 도출할 수 있는가?
• RQ3 약한 의존성 하에서 복소 과정 추론을 위한 부트스트랩 절차의 조건부 일관성을 어떻게 보여줄 수 있는가?
• RQ4 약한 의존성과 최소한의 부드러움 조건 하에서 순차 경험 복소 과정 C#_n과 C+_n의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ5 결과를 연속적 편도수가 필요 없는 일반 복소 과정으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 3.1 하에서 경험 복소 과정 √n(C_n - C)는 복소 과정 C의 부드러움을 요구하지 않고 가우시안 과정 G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u)로 약하게 수렴한다.
• 순차 경험 복소 과정 C+_n(s,u)는 G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u)로 약하게 수렴하며, 이 한계 과정은 순차 경험 과정 B#_C에 의존한다.
• 과정 C#_n(s,u)의 경우, C가 조건 2.3(편미분 가능성)를 만족할 때 G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ_p ∂_p C(u) B#_C(1,u_p)로 약한 수렴이 성립한다.
• 기능적 델타 방법은 부드러움 가정 없이도 부트스트랩 일관성을 가능하게 하여, 이전의 연속적 편도수 요구 조건을 초월한다.
• 이전의 연구인 세거스(2011)와 두크한 등(2009)의 결과를 부드러움이 필요 없고 약하게 의존하는 자료로 확장함으로써 일반화하였다.
• 한계 분포는 ℓ∞([0,1]^{d+1}) 위의 가우시안 필드이며, 기저 시계열의 의존성 구조로부터 유도된 명시적 공분산 구조를 가진다.