[논문 리뷰] Empirical Distributions of Eigenvalues of Product Ensembles

Tiefeng Jiang, Yongcheng Qi|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 13.

Random Matrices and Applications참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 결정성 점 프로세스를 사용하여 랜덤 행렬의 곱 집합에서 고유값의 점근 스펙트럼 분포를 분석하는 일반적 프레임워크를 수립한다. i.i.d. 긴베르 행렬의 곱과 하르 유니터리 행렬의 절단의 곱에 대해, 심지어 수 n에 따라 변화하는 행렬의 수 $ m $ 이더라도 경험적 고유값 분포의 명시적 한계를 도출하며, 이는 비율 $ n_j/n $ 에 따라 다채롭게 변화하는 복잡한 점근적 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

Assume a finite set of complex random variables form a determinantal point process, we obtain a theorem on the limit of the empirical distribution of these random variables. The result is applied to %We study the limits of the empirical distributions of the eigenvalues of two types of $n$ by $n$ random matrices as $n$ goes to infinity. The first one is the product of $m$ i.i.d. (complex) Ginibre ensembles, and the second one is the product of truncations of $m$ independent Haar unitary matrices with sizes $n_j imes n_j$ for $1\leq j \leq m$. Assuming $m$ depends on $n$, by using the special structures of the eigenvalues we developed, explicit limits of spectral distributions are obtained regardless of the speed of $m$ compared to $n$. For the product of $m$ Ginibre ensembles, as $m$ is fixed, the limiting distribution is known by various authors, e.g., Götze and Tikhomirov (2010), Bordenave (2011), O'Rourke and Soshnikov (2011) and O'Rourke {\it et al}. (2014). Our results hold for any $m\geq 1$ which may depend on $n$. For the product of truncations of Haar-invariant unitary matrices, we show a rich feature of the limiting distribution as $n_j/n$'s vary. In addition, some general results on arbitrary rotation-invariant determinantal point processes are also derived. Especially, we obtain an inequality for the fourth moment of linear statistics of complex random variables forming a determinantal point process. This inequality is known for the complex Ginibre ensemble only [Hwang (1986)]. Our method is the determinantal point process rather than the contour integral by Hwang.

연구 동기 및 목표

• 결정성 점 프로세스를 이루는 복소수 랜덤 변수들의 경험적 분포에 대한 일반적 정리 개발.
• 이 정리를 두 가지 유형의 곱 랜덤 행렬 집합에 적용: i.i.d. 긴베르 행렬의 곱과 하르 유니터리 행렬의 절단 곱.
• 행렬 수 $ m $ 가 $ n $ 과 함께 증가하더라도, 이러한 집합에 대해 명시적이고 보편적인 점근 스펙트럼 분포 확보.
• 하르 유니터리 행렬의 절단 곱의 경우, 비율 $ n_j/n $ 에 따라 달라지는 복잡한 분포의 구조를 규명.
• 긴베르 케이스를 초월해 결정성 점 프로세스의 선형 통계량에 대한 네 번째 모멘트 부등식에 대한 기존 결과를 확장.

제안 방법

• 고유값의 반경적 행동에만 기반하여 복소수 결정성 점 프로세스의 경험적 분포에 대한 일반적 한계 정리 유도.
• 두 집합 모두 고유값 점 프로세스와 관련된 커널의 회전 대칭성 활용.
• 두 집합에 대해 각각 고유값의 절댓값을 i.i.d. 감마 또는 베타 랜덤 변수의 곱으로 특성화.
• 일반 정리를 $ m $ 개의 i.i.d. 긴베르 행렬의 곱에 적용하여, $ m $ 이 $ n $ 에 따라 의존하더라도 수렴하는 한계 분포를 보여줌.
• $ n_j \times n_j $ 크기의 $ m $ 개의 독립 하르 유니터리 행렬의 절단 곱을 분석하고, $ n_j/n $ 의 점근적 행동에 따라 한계 분포 유도.
• 반경과 각도 성분으로의 변환을 사용하고, 각도와 스케일된 반경에 정의된 경험적 측도 $ \mu_n $ 와 $ \nu_n $ 에 대해 약한 수렴 논증 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 수 $ m $ 가 $ n $ 에 따라 변화할 수 있을 때, $ n \times n $ i.i.d. 긴베르 행렬의 곱에 대해 $ n \to \infty $ 일 때 고유값의 점근 경험적 분포는 무엇인가요?
• RQ2 행렬 수 $ m $ 와 비율 $ n_j/n $ 이 $ n $ 과 함께 변화할 때, 독립 하르 유니터리 행렬의 절단 곱의 점근 스펙트럼 분포는 어떻게 행동합니까?
• RQ3 고유값의 반경적 구조에만 의존하는 결정성 점 프로세스에 대한 일반적 한계 정리를 도출할 수 있을까요?
• RQ4 임의의 회전 대칭 결정성 점 프로세스의 선형 통계량에 대한 네 번째 모멘트 부등식은 무엇이며, 이는 긴베르 집합에 대한 황의 결과를 어떻게 일반화합니까?
• RQ5 하르 절단 곱에서 고유값의 경험적 측도가 약한 수렴으로 비균일한 극한으로 수렴하는 조건은 무엇입니까?

주요 결과

• i.i.d. 긴베르 행렬의 곱에 대해, $ m \geq 1 $ 이며 $ m \to \infty $ 일 때도 포함하여, 점근 스펙트럼 분포를 명시적으로 도출하였다. 이는 고정된 $ m $ 에 대한 이전 결과를 일반화한다.
• 하르 유니터리 행렬의 절단 곱에 대해선, 점근적 비율 $ n_j/n $ 에 따라 한계 분포가 달라지며, 균일한 극한과 비균일한 극한을 포함한 다채로운 행동을 보인다.
• $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \beta \in (0,\infty) $ 일 때, 점근 고유값 밀도는 $ |z| < 1 $ 에서 $ \frac{\beta}{\pi |z|^2 (\beta - 2\log|z|)^2} $ 이다.
• $ \frac{1}{n}\sum_{j=1}^m l_j \to \infty $ 일 때, 점근 밀도는 $ |z| < 1 $ 에서 $ \frac{1}{2\pi |z|^2 (1 - \log|z|)^2} $ 로 변한다.
• $ \max_j |n/n_j - 1| \to 0 $ 이고 $ m \to \infty $ 일 때, 점근 고유값 분포는 단위 원판 위에 균일해지며, 밀도는 $ \frac{1}{2\pi |z|} $ 이다.
• 회전 대칭 결정성 점 프로세스의 선형 통계량에 대한 새로운 네 번째 모멘트 부등식을 확립하여, 황의 긴베르 집합 결과를 일반적인 이러한 프로세스로 확장하였다.