[논문 리뷰] Empirical measures of partially hyperbolic attractors

Sylvain Crovisier, Dawei Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심이 일차원인 부분적으로 쌍곡적 난류에서 궤도의 점근적 통계적 행동을 조사하며, 중심 리아푸노프 지수는 거의 확실히 존재하지만, 경험적 측도는 수렴하지 않을 수 있음을 증명한다. 이는 갈리아 $ u $-상태의 존재를 확립하고, 1D 중심을 가진 $ C^{1+\beta} $ 미분형에서 SRB 측도가 유일하고 물리적임을 보이며, 시간 평균에 대한 대규모 변동 추정을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the limit measures of the empirical measures of Lebesgue almost every point in the basin of a partially hyperbolic attractor. They are strongly related to a notion named Gibbs u-state, which can be defined in a large class of diffeomorphisms with less regularity and which is the same as Pesin-Sinai's notion for partially hyperbolic attractors of $C^{1+α}$ diffeomorphisms. In particular, we prove that for partially hyperbolic $C^{1+α}$ diffeomorphisms with one-dimensional center, and for Lebesgue almost every point: (1) the center Lyapunov exponent is well defined, but (2) the sequence of empirical measures may not converge. We also give some consequences on SRB measures and large deviations.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 쌍곡적 난류에서 중심이 일차원인 경우 일반 궤도의 통계적 행동을 이해하기 위해.
• 기하측도에서 거의 모든 점에 대해 관련된 경험적 측도의 수렴 성질을 분석하기 위해.
• 낮은 정규성 조건에서 부분적으로 쌍곡적 시스템의 물리적 측도를 특성화하는 데 갈리아 $ u $-상태의 역할을 명확히 하기 위해.
• 이행적인 시스템에서 시간 평균에 대한 대규모 변동 추정을 유도하고, SRB 측도의 유일성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 부분적으로 쌍곡적 난류의 기하측도에서 거의 모든 $ x $ 에 대해 경험적 측도 $ m_{x,n} = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \delta_{f^i(x)} $ 의 극한 행동을 분석한다.
• 일반화된 페신 부등식을 사용하여 불변성의 측도론적 엔트로피를 불변성의 잭오비안을 통해 아래에서 유계함.
• 불변성의 측도를 불변성의 잎사귀에 따라 분해함으로써 정의된 갈리아 $ u $-상태 이론을 적용하여 물리적 측도를 특성화한다.
• 불변성 레이어의 리프시츠 연속성과 [LeYo1]의 결과를 활용하여 분해가 불변성 잎사귀에서 르베그 측도와 동치임을 보인다.
• 연속 시간 경우를 시간-$ t_0 $ 사상 $ \phi_{t_0} $ 를 통해 이산 시간 맵으로 환원하며, 에르고딕성과 SRB 측도의 유일성을 활용한다.
• [PuSh1]의 대규모 변동 추정을 시간 평균 관측량에 적용하여 평균에서 벗어나는 집합의 측도가 시간에 따라 지수적으로 감소함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 중심을 가진 $ C^{1+\alpha} $ 부분적으로 쌍곡적 난류의 기하측도에서 거의 모든 점에 대해 중심 리아푸노프 지수가 존재하는가?
• RQ2 중심 리아푸노프 지수가 잘 정의되어 있음에도 불구하고 경험적 측도 수열이 수렴하지 않을 수 있는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 유일한 물리적(또는 SRB) 측도가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 이행적인 부분적으로 쌍곡적 흐름에서 연속 관측량의 시간 평균에 대해 어떤 대규모 변동 추정이 성립하는가?
• RQ5 $ C^{1+\alpha} $ 설정에서 갈리아 $ u $-상태는 페신-시나이 SRB 측도와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• $ C^{1+\alpha} $ 미분형에서 부분적으로 쌍곡적 분해 $ E^{ss} \oplus E^c \oplus E^{uu} $ 와 $ \dim E^c = 1 $ 을 가진 경우, 기하측도에서 거의 모든 $ x $ 에 대해 중심 리아푸노프 지수 $ \lambda^c(x) $ 가 존재한다.
• $ \lambda^c(x) \neq 0 $ 인 경우, $ x $ 의 궤도는 쌍곡적, 에르고딕적, 물리적 측도의 기하측도에 속한다.
• 1D 중심을 가진 $ \mathbb{T}^3 $ 에서의 $ C^\infty $ 이행적 미분형이 존재하며, 거의 모든 점에서 궤도가 조밀하고 경험적 측도가 수렴하지 않는다.
• 유일한 에르고딕 갈리아 $ u $-상태를 가진 이행적인 특이 쌍곡적 난류의 경우 SRB 측도는 유일하며, 그 기하측도는 기하측도의 전체를 차지한다.
• 임의의 연속 관측량 $ \psi $ 에 대해 시간 평균은 지수 대규모 변동 추정을 만족한다: 시간 평균이 평균에서 벗어나는 집합의 기하측도는 시간에 따라 지수적으로 감소한다.
• 유일한 SRB 측도 $ \mu $ 는 유일한 물리적 측도이며, 기하측도 거의 모든 $ x $ 에 대해 경험적 측도 $ \frac{1}{t} \int_0^t \delta_{\phi_s(x)} ds $ 는 $ t \to \infty $ 일 때 $ \mu $ 에 약하게 수렴한다.