[논문 리뷰] Empirical Observability Gramian for Stochastic Observability of Nonlinear Systems

Nathan Powel, Kristi A. Morgansen|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 12.

Fault Detection and Control Systems인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비선형 확률적 시스템으로의 경험적 관측 가능성 그래미안을 확장하여, 과정 잡음이 이전에는 관측 불가능한 상태를 관측 가능하게 만들 수 있음을 입증한다. 노이즈가 있는 시스템 궤적을 시뮬레이션함으로써, 잡음에 의해 유도된 자극이 관측 가능성 지표를 향상시켜, 결정론적 제어가 실패할 때조차도 휠체어 모델의 헤딩 상태를 추정할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We extend observability metrics based on the empirical observability Gramian from deterministic nonlinear systems to nonlinear stochastic systems in order to capture the impact of process noise on observability. We demonstrate that the empirical observability Gramian can be used to provide an equivalent condition for a definition of stochastic observability on linear systems, and that the Gramian can be used to extend stochastic observability to nonlinear stochastic systems. We further demonstrate through simulation that consideration of process noise can reveal observability in systems that would be considered unobservable using traditional deterministic tools.

연구 동기 및 목표

• 결정론적 비선형 시스템에서의 경험적 관측 가능성 그래미안을 확률적 비선형 시스템으로 확장하여 과정 잡음이 관측 가능성에 미치는 영향을 평가하는 것.
• 결정론적 기준에 따라 관측 불가능한 상태가 과정 잡음 덕분에 관측 가능해질 수 있음을 입증하여, 전통적인 결정론적 관측 가능성 기준에 도전하는 것.
• 해석 가능한 시스템 모델이 필요 없이도 비선형 확률적 시스템에서의 관측 가능성 분석을 위한 계산적으로 실현 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 잡음에 의해 유도된 자극이 대칭성 또는 제한된 제어 능력을 가진 시스템에서 상태 관측 가능성을 향상시키는 데 있어 제어 입력과 어떻게 비교되는지 조사하는 것.
• 경험적 그래미안 기반 지표를 기존의 확률적 관측 가능성 정의(예: Liu 및 Bitmead의 정의)와 연결할 수 있는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 기존에 결정론적 비선형 시스템에 사용된 경험적 관측 가능성 그래미안을 확장하여, 시뮬레이션에 과정 잡음을 통합한다.
• 해석형 시스템 방정식이 필요 없도록, 확률적 입력에 의해 구동되는 시스템 궤적의 몬테카를로 샘플링을 통해 그래미안을 계산한다.
• 그래미안에서 파생된 정량적 관측 가능성 지표로 추정 조건수와 관측 불가능성 지수를 사용하여 상태의 관측 가능성을 평가한다.
• 노이즈가 있는 가속도 동역학을 갖는 휠체어 차량 모델을 사용하여, 결정론적 제어에서는 관측 불가능한 헤딩 상태가 과정 잡음 덕분에 관측 가능해지는지를 시뮬레이션한다.
• 순수 제어, 순수 잡음, 혼합 제어-잡음 입력 조건에서의 관측 가능성 성능을 비교하여 최적의 잡음 수준을 규명한다.
• 잡음 강도(q)의 변화가 관측 가능성 지표에 미치는 영향을 분석하여, q ≈ 0.008 근처에서 조건수가 국소 최소값을 이룰 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정론적 제어에서 관측 불가능한 비선형 시스템에서 과정 잡음이 상태를 관측 가능하게 만들 수 있는가?
• RQ2 확률적 시스템에 적응된 경험적 관측 가능성 그래미안은 전통적인 결정론적 관측 가능성 지표와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 비선형 확률적 시스템에서 상태 추정의 조건을 향상시키는 데 최적의 과정 잡음 수준는 무엇인가?
• RQ4 특히 대칭성 또는 제한된 액추에이터를 가진 시스템에서, 제어 입력이 자극할 수 없는 상태를 잡음이 얼마나 잘 자극할 수 있는가?
• RQ5 비선형 확률적 시스템에서 다양한 잡음 강도에서 경험적 그래미안 기반 지표(조건수, 관측 불가능성 지수)는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 결정론적 제어가 이 상태를 자극하지 못할 때조차도, 휠체어 모델의 헤딩 상태가 과정 잡음 덕분에 약 ±180°의 모호성까지 관측 가능해질 수 있다.
• 추정 조건수가 q ≈ 0.008 근처에서 국소 최소값을 이룰 것으로 나타나, 혼합 제어 및 잡음 자극 조건에서 최적의 관측 가능성 조건이 성립함을 시사한다.
• 관측 불가능성 지수는 잡음 강도가 증가함에 따라 단조롭게 감소하며, 잡음이 증가할수록 관측 가능성 향상이 이루어지지만, 점차 수익 감소 효과를 보인다.
• 특히 제어 입력이 자극할 수 없는 상태를 잡음이 자극할 수 있을 경우, 잡음 자체만으로도 제어 입력만으로의 관측 가능성 조건보다 더 우수한 성능을 보일 수 있다.
• 경험적 그래미안 프레임워크는 과정 잡음이 관측 가능성에 미치는 영향을 성공적으로 포착하여, 결정론적 기준에 따라 관측 불가능하다고 간주되는 시스템에서도 잡음이 관측 가능성을 유도할 수 있음을 드러낸다.
• 이 방법은 계산적으로 실현 가능하며 해석형 시스템 모델이 필요 없어, 미지의 비선형 동역학을 가진 복잡한 실제 시스템에 적용 가능하다.