[논문 리뷰] Empirical processes of dependent random variables

Wei Biao Wu|ArXiv.org|2004. 12. 14.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 68인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 강한 혼합 조건을 피하기 위해 마팅게일 방법을 사용하여 정 stationarity, causal, dependent한 랜덤 변수의 경험 과정에 대해 약한 수렴과 경험 중심극한정리들을 수립한다. 짧은 범위의 의존성 하에서 한계 분포가 √n 정규화 하에 가우시안 과정임을 증명하며, 최적의 모멘트 조건 하에서 i.i.d. 경우의 Donsker 정리들을 의존성 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Empirical processes for stationary, causal sequences are considered. We establish empirical central limit theorems for classes of indicators of left half lines, absolutely continuous functions and piecewise differentiable functions. Sample path properties of empirical distribution functions are also discussed. The results are applied to linear processes and Markov chains.

연구 동기 및 목표

• 강한 혼합 조건에 의존하지 않고 정 stationarity, causal, dependent한 수열의 경험 과정에 대한 약한 수렴 이론을 개발하기 위해.
• 왼쪽 반직선의 지표, 절대 연속 함수, 조각별 미분 가능한 함수를 포함한 함수의 클래스에 대해 경험 중심극한정리를 수립하기 위해.
• 특히 선형 과정과 마코프 체인에 대해 짧은 범위 및 긴 범위의 의존성 하에서 경험 과정의 한계 행동을 특성화하기 위해.
• 가우시안 과정으로의 약한 수렴을 보장하기 위해 타이트성과 유한차원 수렴 조건을 제공하기 위해.
• 의존성 설정에서의 약한 수렴을 위한 최적 또는 거의 최적의 모멘트 조건을 유도하기 위해.

제안 방법

• 경험 과정을 측정 가능 성분들로 분해하기 위해 마팅게일 차분 표현을 적용하여 최대 및 적분 부등식의 사용을 가능하게 한다.
• G가 가산이 아닐 경우의 측정 가능성 문제를 다루기 위해 ℓ∞(G) 공간에서의 외부 기대값과 약한 수렴 프레임워크를 사용한다.
• 함수 클래스의 엔트로피와 메트릭 엔트로피를 제어하기 위해 소볼레프 유형 클래스와 가중 L2 노름을 활용한다.
• 특히 하디 부등식을 통해 꼬리 행동의 모멘트 조건을 활용하여, 엔트로피 적분 경계를 통해 타이트성을 확립한다.
• 긴 범위 의존성 선형 과정에 대한 점근적 전개를 적용하여 √n 정규화 한계정리를 도출한다.
• 함수 클래스의 변동성이 제어되는 경우에 경험 과정의 상한을 제어하기 위해 이진 분할 및 절단 전략을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정 stationarity, causal, dependent한 수열의 경험 과정이 어떤 조건에서 가우시안 과정으로 약하게 수렴하는가?
• RQ2 강한 혼합 가정 없이도 i.i.d. 수열에 대한 고전적 Donsker 정리는 의존성 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 모멘트 조건과 의존성 구조(짧은 범위 대비 긴 범위)는 경험 과정의 정규화 및 한계 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 소볼레프 유형 클래스와 가중 노름은 의존성 하에서 경험 과정의 타이트성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 최대 및 적분 부등식은 비-i.i.i.d. 함수 클래스에 따라 인덱싱된 경험 과정의 상한을 제어하기 위해 어떻게 적응될 수 있는가?

주요 결과

• 짧은 범위 의존성 하에서 정 stationarity, causal 과정에 대해, 왼쪽 반직선의 지표로 인덱싱된 경험 과정은 √n 정규화 하에 브라운리지로 약하게 수렴한다.
• 최적의 모멘트 조건 하에서 절대 연속 함수 및 조각별 미분 가능한 함수에 대해 경험 중심극한정리가 수립된다.
• 도함수의 L2 노름이 제어되는 소볼레프 유형 함수 클래스를 활용하여 엔트로피 적분 경계와 함께 경험 과정의 타이트성이 증명된다.
• 유한차원 수렴과 타이트성 하에서, 외부 기대값을 사용하여 측정 가능성을 확보함으로써, 경험 과정의 한계 가우시안 과정은 ℓ∞(G)에서 약한 극한으로 나타난다.
• 긴 범위 의존성 선형 과정의 경우, √n 정규화 한계정리를 달성하기 위해 점근적 전개가 필요하며, 이는 i.i.i.d. 경우와의 이탈을 시사한다.
• Gγ,μ 및 Hη,δ와 같은 클래스에서 경험 과정의 상한이 절단이 증가함에 따라 확률적으로 0으로 수렴하는 조건을 도출하였으며, 이는 타이트성을 보장한다.