[논문 리뷰] Empowering the Configuration-IP $-$ New PTAS Results for Scheduling with Setups Times

Klaus Jansen, Kim-Manuel Klein외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 19.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 설정 시간이 있는 스케줄링 문제에 대해 효율적인 다항식 시간 근사법(EPTAS)을 가능하게 하는 고전적 구성 정수계획법의 개선된 형태인 모듈 구성 정수계획법(MCIP)을 제안한다. 설정 시간과 작업 조각을 라운드된 컨테이너 크기 내에 모델링하고 n-폴드 정수계획법을 활용함으로써, 분할 가능한 경우와 불가능한 경우에 각각 $1/\varepsilon$에 대해 단일지수 및 이중지수적 의존도를 가지는 EPTAS를 달성한다. 이는 이전의 상수 요인 근사법에 비해 크게 향상된 결과이다.

ABSTRACT

Integer linear programs of configurations, or configuration IPs, are a classical tool in the design of algorithms for scheduling and packing problems, where a set of items has to be placed in multiple target locations. Herein a configuration describes a possible placement on one of the target locations, and the IP is used to chose suitable configurations covering the items. We give an augmented IP formulation, which we call the module configuration IP. It can be described within the framework of n-fold integer programming and therefore be solved efficiently. As an application, we consider scheduling problems with setup times, in which a set of jobs has to be scheduled on a set of identical machines, with the objective of minimizing the makespan. For instance, we investigate the case that jobs can be split and scheduled on multiple machines. However, before a part of a job can be processed an uninterrupted setup depending on the job has to be paid. For both of the variants that jobs can be executed in parallel or not, we obtain an efficient polynomial time approximation scheme (EPTAS) of running time $f(1/\\varepsilon)\ imes \\mathrm{poly}(|I|)$ with a single exponential term in $f$ for the first and a double exponential one for the second case. Previously, only constant factor approximations of $5/3$ and $4/3 + \\varepsilon$ respectively were known. Furthermore, we present an EPTAS for a problem where classes of (non-splittable) jobs are given, and a setup has to be paid for each class of jobs being executed on one machine.

연구 동기 및 목표

• 고전적 구성 정수계획법이 추가 제약 조건으로 인해 실패하는 설정 시간이 있는 스케줄링 문제를 다루기 위해.
• 각 모듈이 설정 시간과 관련된 작업 조각 또는 배치를 나타내는 새로운 정수계획법 형식인 모듈 구성 정수계획법(MCIP)을 개발하기 위해.
• 설정 시간이 있는 분할 가능 및 불가능한 스케줄링 변형에 대해 효율적인 EPTAS를 설계하기 위해.
• 모듈 크기에 기하학적 및 산술적 라운딩을 적용하여 근사 알고리즘의 실행 시간을 줄이기 위해.
• MCIP가 작업 클래스가 존재하고 각 클래스에 대해 설정 비용이 발생하는 문제에 적용 가능한지를 보여주기 위해.

제안 방법

• 고전적 구성 정수계획법의 확장된 형태인 모듈 구성 정수계획법(MCIP)을 제안하며, 각 모듈은 설정 시간과 그에 관련된 작업 조각 또는 배치를 나타낸다.
• 각 기계의 부하를 컨테이너 크기의 합으로 모델링하며, 각 컨테이너는 설정 시간과 해당 작업 조각을 수용하며, 크기는 기하학적 및 산술적 라운딩을 통해 라운드된다.
• 작은 블록 유형 수에 대해 잘 알려진 처리 가능성 덕분에 n-폴드 정수계획법을 사용해 MCIP를 효율적으로 해결한다.
• 단순화 기법을 적용: 최대 종료 시간을 추측하고, 서로 다른 처리 시간의 수를 제한하며, 처리 시간과 설정 시간을 $\varepsilon^2 T$로 스케일링한다.
• 컨테이너 크기를 크기가 $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$인 집합 $\bar{H}$로 라운딩하여 $\bar{H}$-구조 스케줄링을 도입하며, 패킹에 충분한 공간을 확보한다.
• 라운딩 과정에서 컨테이너 크기가 증가함에 따라 처리 시간의 상한 $\bar{T}$ 및 하한 $\breve{T}$를 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 구성 정수계획법은 설정 시간이 있는 스케줄링 문제를 더 효과적으로 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ2 설정 시간이 있는 스케줄링 문제에 대해 $1/\varepsilon$에 대해 단일 또는 이중지수적 의존도를 가지는 EPTAS를 설계할 수 있는가?
• RQ3 컨테이너 크기에 기하학적 및 산술적 라운딩을 적용하면 모듈 유형의 수를 줄일 수 있으며, 해의 품질을 유지할 수 있는가?
• RQ4 n-폴드 정수계획법 기법을 사용해 MCIP를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 MCIP는 작업 클래스가 존재하고 각 클래스에 대해 설정 비용이 발생하는 문제로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 설정 시간이 있는 분할 가능한 스케줄링 모델에 대해 실행 시간이 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^2 \log^3 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$인 EPTAS가 달성되었다.
• 비분할 가능한 설정 클래스 모델에 대해 실행 시간이 $2^{\mathcal{O}(1/\varepsilon^3 \log^4 1/\varepsilon)} \cdot \mathrm{poly}(n,m)$인 EPTAS가 달성되었다.
• 기하학적 및 산술적 라운딩을 통해 MCIP 내의 서로 다른 모듈 크기 수가 $\mathcal{O}(1/\varepsilon \log 1/\varepsilon)$로 감소하여 n-폴드 정수계획법을 통한 효율적 해법이 가능해졌다.
• MCIP 형식은 설정 시간과 작업 조각을 라운드된 크기를 가진 컨테이너로 모델링할 수 있으며, 이는 타당성과 근사 보장을 유지한다.
• 이전의 근사치 $5/3$ 및 $4/3 + \varepsilon$에 비해 개선되어, 두 경우 모두 $(1+\varepsilon)$-근사치를 달성하였다.
• MCIP 프레임워크는 각 기계당 클래스별 설정 비용이 발생하는 문제로 일반화 가능하다.