[논문 리뷰] Encoding Cardinality Constraints using Generalized Selection Networks

Michał Karpiński, Marek Piotrów|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 14.

Rough Sets and Fuzzy Logic인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 기존의 2-sorter(비교기) 대신 m ≥ 2인 m-sorter를 사용하여 부울 카디널리티 제약 조건을 더 효율적으로 인코딩하는 두 가지 새로운 일반화된 선택 네트워크 가족—m-위즈 선택 네트워크 및 m-홀짝 선택 네트워크—를 제안한다. 입력을 m개의 열로 반복적으로 분할하고, 각 열에서 k개의 최대값을 선택한 후 다중 방향 병합을 통해 병합함으로써, CNF 인코딩에서 보조 변수와 절의 수를 줄여, 특히 더 큰 k와 n에 대해 상당한 성능 향상을 이룬다. 실험 결과 4-홀짝 선택 네트워크는 기존 최고 수준의 인코딩을 초월하여 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

Boolean cardinality constraints state that at most (at least, or exactly) $k$ out of $n$ propositional literals can be true. We propose a new class of selection networks that can be used for an efficient encoding of them. Several comparator networks have been proposed recently for encoding cardinality constraints and experiments have proved their efficiency. Those were based mainly on the odd-even or pairwise comparator networks. We use similar ideas, but we extend the model of comparator networks so that the basic components are not only comparators (2-sorters) but more general $m$-sorters, for $m \geq 2$. The inputs are organized into $m$ columns, in which elements are recursively selected and, after that, columns are merged using an idea of multi-way merging. We present two algorithms parametrized by $m \geq 2$. We call those networks $m$-Wise Selection Network and $m$-Odd-Even Selection Network. We give detailed construction of the mergers when $m=4$. The construction can be directly applied to any values of $k$ and $n$. The proposed encoding of sorters is standard, therefore the arc-consistency is preserved. We prove correctness of the constructions and present the theoretical and experimental evaluation, which show that the new encodings are competitive to the other state-of-art encodings.

연구 동기 및 목표

• 카디널리티 제약 조건을 인코딩하기 위해 기존의 2-sorter만을 사용하는 비교기 네트워크를 일반화한 새로운 선택 네트워크 클래스를 개발하는 것.
• 카디널리티 제약 조건의 CNF 인코딩에서 보조 변수와 절의 수를 줄여, SAT 솔버의 효율성을 향상시키는 것.
• 이전 연구에서 볼 수 있듯이 하이브리드 인코딩에서 분할점 최적화에 드는 비용을 제거하는 것.
• 표준 m-스캐너 인코딩을 통해 아크 일致성을 유지하여 SAT 솔버와의 호환성을 확보하는 것.
• 실세계 벤치마크 세트에서 새로운 인코딩의 실용적 성능을 평가하고 기존 최고 수준의 방법들과 비교하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 분할 정복 전략을 사용한다: 입력을 m개의 열로 나누고, 각 열에서 m-sorter를 사용해 k개의 최대값을 재귀적으로 선택한다.
• 각 열에서 선택된 부분 수열은 다중 방향 병합 네트워크를 통해 병합되며, m = 4에 대한 구체적인 구성이 제공된다.
• 두 가지 다른 병합 네트워크가 도입된다: 4-위즈 병합 네트워크(Gao 등의 다중 방향 병합 기반)와 4-홀짝 병합 네트워크(Batcher의 홀짝 병합의 일반화).
• m-sorter의 인코딩은 표준이며, 아크 일치성을 유지하고 효율적인 SAT 해결을 가능하게 한다.
• 이 구성은 매개변수화되어 있으며, 임의의 k와 n에 대해 작동하여 작은 하위 문제에 대해 직접 인코딩과 통합이 가능하다.
• 이전 연구에서 볼 수 있듯이 입력 크기가 2의 거듭제곱이어야 하는 제약 조건을 피함으로써, 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 m-sorter(m ≥ 2)를 사용하여 기존의 2-sorter 네트워크보다 더 효율적인 카디널리티 제약 조건 인코딩을 구축할 수 있는가?
• RQ2 m = 4일 때 다중 방향 병합을 사용하면, 2열 쌍별 또는 홀짝 네트워크에 비해 CNF 인코딩에서 변수와 절의 수가 줄어드는가?
• RQ3 새로운 인코딩은 분할점 최적화에 드는 고비용을 요구하지 않고도 더 나은 SAT 솔버 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 큰 k와 n에 대해 4-홀짝 선택 네트워크는 표준 홀짝 선택 네트워크보다 변수 수와 절 수 측면에서 더 효율적인가?
• RQ5 일반화된 선택 네트워크 접근법은 아크 일치성을 유지하고 SAT 해결에서 점진적 강화를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 충분히 큰 k와 n에 대해 4-홀짝 선택 네트워크는 표준 홀짝 선택 네트워크에 비해 CNF 인코딩에서 변수 수와 절 수를 줄였다.
• MSU4 벤치마크 세트에서 4-홀짝 선택 네트워크는 CS 인코딩 대비 SAT 솔버 런타임을 2배로 단축했으며, 타임아웃 수가 50% 감소했다.
• MSU4 세트에서 4-위즈 선택 네트워크는 PCN 인코딩을 능가하여 총 실행 시간을 약 18,000초(5시간) 감소시키고, 타임아웃 수를 75% 감소시켰다.
• PB15 세트에서는 4OE가 가장 빠른 인코딩이었으며, CS에 비해 총 20,000초 빨리 완료되었고, 총 실행 시간은 다른 인코딩들과 1% 이내로 유사했지만, 해법 능력 측면에서 뚜렷한 우수성을 보였다.
• 카투스 플롯은 4OE가 MSU4에서 특히 두드러지게 더 많은 인스턴스를 더 빠르게 해결했으며, 4WISE는 두 번째로 뛰어난 성능을 보였다.
• 일반화된 선택 네트워크 기반 인코딩은 실용적으로 뛰어난 성능을 보였으며, 상당한 속도 향상과 자원 사용 감소를 보여주어, 기존 최고 수준의 방법들에 비해 실용적 우수성을 입증했다.