[논문 리뷰] Encoding field theories into gravities

Sinya Aoki, Kengo Kikuchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 24.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유량 흐름을 사용하여 $d$차원 양자장론에서 고전적 $d+1$차원 기하학을 유도하는 일반적인 방법을 제안한다. 여기서 흐름 시간 $t$는 에너지 스케일을 코딩하는 추가적인 좌표로 작용한다. 큰 $N$ 근사에서 유도된 메트릭은 고전적이게 되며, 2차원 O(N) 비선형 $\sigma$ 모형의 경우 질량이 0인 극한에서 메트릭의 진공 기대값은 아드스 기하학을 재현한다.

ABSTRACT

We propose a method to give a $d+1$ geometry from a $d$ dimensional quantum field theory in the large N expansion. We first construct a $d+1$ dimensional field from the $d$ dimensional one using the gradient flow equation, whose flow time $t$ represents the energy scale of the system such that $t ightarrow 0$ corresponds to the ultra-violet (UV) while $t ightarrow\infty$ to the infra-red (IR). We define the induced metric using $d+1$ dimensional field operators. We show that the metric defined in this way becomes classical in the large N limit: quantum fluctuations of the metric are suppressed as 1/N due to the large $N$ factorization property. As a concrete example, we apply our method to the O(N) non-linear $σ$ model in two dimensions. We calculate the three dimensional induced metric, which describes an AdS space in the massless limit. We finally discuss several open issues for future investigations.

연구 동기 및 목표

• 다양한 $d$차원 양자장론에서 $d+1$차원 기하학을 유도하는 일반적인 프레임워크를 수립하는 것.
• 큰 $N$ 근사에서 양자 양동이가 $1/N$ 비례로 억제되어 메트릭이 고전적이게 되는 이유를 보여주는 것.
• 2차원 O(N) 비선형 $\sigma$ 모형에 이 방법을 적용하여 3차원에서의 유도된 메트릭을 결정하는 것.
• 유도된 기하학이 특정 극한에서 알려진 중력 배경(예: 아드스)을 재현하는지 조사하는 것.
• 장론 관측량과 유도된 메트릭의 기하학적 성질 사이의 사전을 구성할 가능성 탐색하기

제안 방법

• 유량 시간 $t$를 에너지 스케일을 나타내는 추가 좌표로 사용하여, $d+1$차원 장 $\phi^{a,\alpha}(t,x)$를 유량 방정식을 통해 정의한다.
• 기하학적 해석을 단순화하기 위해 새로운 변수 $\tau = 2\sqrt{t}$를 도입한다. 이는 $d+1$차원 공간 $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^d$에서의 해석을 돕는다.
• 유도된 메트릭 $\hat{g}_{\mu\nu}(z)$를 $g_{ab}(\phi) h_{\alpha\beta} \partial_\mu \phi^{a,\alpha} \partial_\nu \phi^{b,\beta}$로 구성하여, 장의 구성이 $\mathbb{R}^N$ 내의 곡면으로 매핑되도록 한다.
• 유한성을 확보하기 위해 $\tau > 0$ 조건 하에 메트릭 $\langle \hat{g}_{\mu\nu}(z) \rangle$의 진공 기대값을 큰 $N$ 전개에서 계산한다.
• 큰 $N$ 인과성 분해를 사용하여 $\hat{g}_{\mu\nu}$의 양자 양동이가 $O(1/N)$ 비례로 억제됨을 보여, 이 근사에서 메트릭이 고전적이게 되는 것을 입증한다.
• 이 방법을 2차원 O(N) 비선형 $\sigma$ 모형에 적용하여 3차원 유도된 메트릭의 기대값을 계산하고, 질량이 0인 극한에서 아드스 기하학으로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유량 흐름을 사용하여 $d$차원 양자장론에서 $d+1$차원 기하학을 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 큰 $N$ 근사에서 양자 양동이의 억제로 인해 유도된 메트릭이 고전적이게 되는가?
• RQ3 2차원 O(N) 비선형 $\sigma$ 모형의 유도된 메트릭이 질량이 0인 극한에서 아드스 기하학을 재현하는가?
• RQ4 장론의 UV 및 IR 행동이 유도된 메트릭의 기하학적 구조에 어떻게 반영되는가?
• RQ5 유도된 메트릭에 아인슈타인 방정식을 일관되게 적용하여 에너지-모멘텀 텐서와 같은 물리적 관측량을 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 메트릭 $\langle \hat{g}_{\mu\nu}(z) \rangle$는 $\tau > 0$일 경우 유한하며, $d$차원에서 직접 정의할 경우 발생할 수 있는 발산을 피한다.
• 메트릭의 양자 양동이는 $O(1/N)$ 비례로 억제되어, 큰 $N$ 근사에서 메트릭이 고전적이게 된다. 이는 큰 $N$ 인과성 분해에 기인한다.
• 2차원 O(N) 비선형 $\sigma$ 모형의 경우, 질량이 0인 극한에서 3차원 유도된 메트릭의 기대값은 $g_{\mu\nu} \sim \text{diag}(-1,1,1)/\tau^2$ 형태의 아드스 공간을 기술한다.
• UV 극한($m\tau \to 0$)에서 메트릭은 $g_{\mu\nu} \sim h / [\tau^2 \log(m^2 \tau^2)]$로 행동하여 비등각성 행동을 나타낸다.
• IR 극한($m\tau \to \infty$)에서 메트릭은 $g_{\mu\nu} \sim h / \tau^2$로 수렴하며, 효과적인 진공 에너지 밀도 $\Lambda_0^{\text{eff}} = [R_0^2 \log(m^2 R_0^2)]^{-1}$를 가지며, $\log(m^2 R_0^2) < 0$이면 점점 아드스 기하학으로 수렴한다.
• 아인슈타인 방정식에서 유도된 에너지-모멘텀 텐서 $T_{\mu\nu}$는 UV 및 IR 극한에서 모두 $T_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}/(8\pi G \tau^2)$이며, 이 경우 $T_{\mu\nu}^{\text{matter}}$는 0이 되어 순수한 중력 배경임을 나타낸다.