[논문 리뷰] Encoding the structure of many-body localization with matrix product operators

David Pekker, Bryan K. Clark|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 08.

Quantum many-body systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다체 국소화(MBL) 시스템의 고유상태를 낮은 결합 차수를 가진 행렬 곱 연산자(MPO)로 효율적으로 표현할 수 있음을 제안한다. 여기서 각 입자는 국소적 기저상태와 국소적 옹진상태를 나타내는 두 개의 행렬로 기술된다. 이 MPO 표현은 MBL 고유상태의 전체 스펙트럼을 포괄하며, 큰 시스템의 정확한 대각화를 가능하게 하고, 면적법칙에 따른 얽힘, 열적화의 부재, 국소화된 보존량과 같은 주요 MBL 성질을 설명한다.

ABSTRACT

Anderson insulators are non-interacting disordered systems which have localized single particle eigenstates. The interacting analogue of Anderson insulators are the Many-Body Localized (MBL) phases. The natural language for representing the spectrum of the Anderson insulator is that of product states over the single-particle modes. We show that product states over Matrix Product Operators of small bond dimension is the corresponding natural language for describing the MBL phases. In this language all of the many-body eigenstates are encode by Matrix Product States (i.e. DMRG wave function) consisting of only two sets of low bond-dimension matrices per site: the $G_i$ matrix corresponding to the local ground state on site $i$ and the $E_i$ matrix corresponding to the local excited state. All $2^n$ eigenstates can be generated from all possible combinations of these matrices.

연구 동기 및 목표

• 안드레센 절연체의 산술적 상태 기술과 유사하게, 다체 국소화(MBL) 고유상태의 전체 스펙트럼을 압축적이고 효율적인 표현으로 찾는 것.
• 고유상태 열적화 가설(ETH)을 따르지 않는 특이한 MBL 고유상태를 기술하는 데 어려움이 있음을 고려하여, 텐서 네트워크 구조를 활용하는 것.
• 낮은 결합 차수를 가진 MPO가 MBL 해밀토니안의 전체 고유상태 스펙트럼을 포괄할 수 있음을 보여주어, 정확한 대각화의 한계를 초월한 효율적인 수치적 대각화를 가능하게 하는 것.
• 기원하는 국소 보존량(l-bits)과 MBL 상에서의 열적화 부재를 이해하기 위한 자연스러운 언어를 제공하는 것.
• 1차원을 초월한 일반화를 제안하여, 고차원에서의 사영된 얽힌 쌍 상태(PEPS)로의 자연스러운 확장 가능성을 제시하는 것.

제안 방법

• 각 입자에서 두 개의 낮은 결합 차수의 텐서를 사용하여 MPO로 구성된 행렬 곱 상태(MPS)를 통해 MBL 고유상태를 표현한다: $G_i^{\rho_i}$ 는 국소 기저상태를, $E_i^{\rho_i}$ 는 국소 옹진상태를 나타낸다.
• 모든 입자에서 $G_i$ 와 $E_i$ 행렬의 가능한 조합을 통해 MPO 기반의 곱상태 유사한 구조로 전체 고유상태 스펙트럼을 구성한다.
• 해밀토니안을 대각화하는 유니타리 변환 $U$ 의 MPO 표현을 사용하며, $U$ 는 시스템 크기와 무관한 결합 차수를 가진 입자 국소 행렬로 구성된다.
• MPO의 구조를 활용하여 국소 연산자(예: $U\sigma_i^+U^\dagger$)가 오직 부분적 확장 수준의 고유상태에만 비국소적으로 작용함을 보여주어, 열적화 부재를 설명한다.
• 국소 보존량(l-bits)을 $U \rho_{\text{product}} U^\dagger$ 로 구성하며, 여기서 $\rho_{\text{product}}$ 는 국소 스핀 연산자의 곱이고, MPO의 낮은 결합 차수로 인해 이러한 양은 국소화된 상태를 유지함을 보여준다.
• 전체 MBL 스펙트럼이 MPO를 통해 효율적으로 표현되고 대각화될 수 있음을 제안하며, 주요 제약은 높은 결합 차수를 요구하는 희귀 영역이라는 점을 지적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다체 국소화 상에서의 전체 고유상태 스펙트럼은 압축적이고 낮은 결합 차수의 텐서 네트워크 표현으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 대각화 유니타리 $U$ 의 MPO 구조는 MBL 시스템에서의 열적화 부재와 국소화를 어떻게 설명하는가?
• RQ3 MPO 표현과 MBL 상에서의 국소 보존량(l-bits)의 기원 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 MPO 형식은 정확한 대각화의 한계를 초월하여 MBL 해밀토니안의 효율적 수치적 대각화를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 희귀 영역은 MBL 스펙트럼의 정확한 MPO 표현을 위한 필요 결합 차수를 제한하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 전체 MBL 고유상태 스펙트럼은 낮은, 시스템 크기에 영향을 받지 않는 결합 차수를 가진 행렬 곱 연산자(MPO)로 압축적으로 표현될 수 있으며, 각 입자는 국소 기저상태를 위한 하나의 행렬과 국소 옹진상태를 위한 하나의 행렬만 기여한다.
• 대각화 유니타리 $U$ 의 MPO 표현은 국소 연산자가 오직 부분적 확장 수준의 고유상태에만 영향을 주므로, 열적화 부재와 진동자의 국소화를 설명한다.
• 낮은 결합 차수로 인해 먼 진동자 간의 행렬 원소가 사라지므로, MPO의 구조는 MBL 고유상태에서 수준 간 반발이 없는 것을 자연스럽게 설명한다.
• 국소 보존량(l-bits)은 $U \rho_{\text{product}} U^\dagger$ 로 기원하며, 여기서 $\rho_{\text{product}}$ 는 곱 상태이고, MPO의 유한한 결합 차수로 인해 이러한 양은 국소화된 상태를 유지한다.
• 결합 차수 $D \propto L^\xi$ 를 요구하는 희귀 영역에 부딪힐 확률은 $L \exp(-l/\xi)$ 의 비율로 스케일링되며, 정확한 대각화의 지수적 스케일링과 비교해 다항식적으로 부드러운 제약 조건이 된다.
• MPO 프레임워크는 큰 MBL 시스템의 효율적 대각화를 가능하게 하며, 유한한 에너지 밀도와 동적 성질이 압축된 MPO 표현으로 접근 가능하여 정확한 대각화의 한계를 크게 초월한다.