[논문 리뷰] Endomorphismes aleatoires dans les espaces projectifs II

Henry de Thélin|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 17.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소 사영 공간 $\mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 상의 랜덤 힐베르트형 자기사상들을 연구하며, 랜덤 그린 코어스 $T(f_0)$와 그 $k$중 자기교차 $\mu(f_0)$의 존재를 확립한다. 이는 랜덤 불변 측도를 이룬다. 주요 결과는 곱공간 $\mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 상의 관련 측도 $\alpha$의 혼합 엔트로피가 $k\log d$와 일치함을 보여, 최대 엔트로피와 리아풀로프 지수의 하한 $\log d / 2$ 를 증명한다. 이는 에르고딕 기반 동역학을 가진 결정론적 동역학 이론을 랜덤 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We study random holomorphic endomorphisms of P^k(C). This article is the second part of arXiv:1205.1601

연구 동기 및 목표

• 결정론적 힐베르트형 자기사상의 그린 코어스 및 측도 이론을 이러한 사상들의 랜덤 조합으로 확장하기 위해.
• 일반적인 초기 사상 $f_0$에 대해 랜덤 그린 코어스 $T(f_0)$와 관련 측도 $\mu(f_0)$의 존재성 및 불변성 성질을 확립하기 위해.
• 스키프프로덕트 공간 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 상의 불변 측도 $\alpha$의 혼합 엔트로피 $h_{\alpha,\text{mix}}$를 정의하고 분석하며, 이가 이론적 상한 $k\log d$에 도달함을 보여주기 위해.
• 체적 성장 및 코homological 추정을 이용하여, $\mu(f_0)$의 리아풀로프 지수에 하한 $\log d / 2$ 를 확립함으로써 랜덤 동역계의 하이퍼볼리시티를 증명하기 위해.

제안 방법

• 공간 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 상에서 $\tau(f,x) = (F(f), f(x))$ 를 정의한다. 여기서 $F$ 는 유리 함수 공간 상의 측도 가능 함수이며, 불변 에르고딕 측도 $\Lambda$ 를 가진다.
• 조건 $\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$ 하에, $F_n = f_n \circ \cdots \circ f_0$ 이라 할 때, $\frac{(F_n)^*\omega}{d^{n+1}}$ 의 약한 극한으로서 랜덤 그린 코어스 $T(f_0)$ 를 구성한다.
• 코어스의 연속 잠재력에 기반하여, $T(f_0)^k$ 를 통해 랜덤 불변 측도 $\mu(f_0)$ 를 정의한다.
• $\Lambda$ 를 기반으로 $f$ 에 대해 $\mu(f)$ 를 통합하여 $X$ 상의 곱 측도 $\alpha$ 를 구성한다. $\Lambda$ 가 불변이라면 $\alpha$ 는 $\tau$-불변이며, 에르고딕임을 보여준다.
• 그로모프의 체적 비교 방법을 사용하여, 프로젝션 부분공간 내 $\epsilon/2$-분리된 점들의 수를 추정하며, 그래프 $\Gamma_n$ 의 체적 성장을 통해 이러한 점들의 수를 상한한다.
• 코homological 추정을 적용한다: $\int_R (f_{n_l-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \wedge \cdots \wedge (f_{n_{d_u}-1} \circ \cdots \circ f_1)^*\omega \leq n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}$, 여기서 각 $f_i$ 는 차수 $d$ 이므로 $\omega$ 를 $d^{n_l-1}\omega$ 와 코homologous하게 당긴다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 지도 $F$ 와 불변 측도 $\Lambda$ 를 가진 랜덤 동역계 하에서, 거의 확실히 모든 초기 지도 $f_0$ 에 대해 랜덤 그린 코어스 $T(f_0)$ 가 존재하는가?
• RQ2 스키프프로덕트 공간 상의 불변 측도 $\alpha$ 의 혼합 엔트로피 $h_{\alpha,\text{mix}}$ 는 얼마이며, 이는 이론적 최대값 $k\log d$ 에 도달하는가?
• RQ3 랜덤 측도 $\mu(f_0)$ 의 리아풀로프 지수는 결정론적 경우와 마찬가지로 $\log d / 2$ 이상으로 하한이 존재하는가?
• RQ4 체적 성장 추정과 궤도 공간 내 분리된 점들의 수에 대한 코homological 하한을 이용하여, 랜덤 시스템의 하이퍼볼리시티를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤 그린 코어스 $T(f_0)$ 는 $\Lambda$-거의 모든 $f_0$ 에 대해 존재하며, 연속 잠재력을 지닌다. 이는 랜덤 측도 $\mu(f_0) = T(f_0)^k$ 의 정의를 가능하게 한다.
• 측도 $\alpha$ 는 $X = \mathbb{P}^N(\mathbb{C}) \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})$ 상에서 $\alpha(B) = \int \mu(f)(B \cap \{f\} \times \mathbb{P}^k(\mathbb{C})) \, d\Lambda(f)$ 로 정의되며, 조건 $\int \log \text{dist}(f, \mathcal{M}) \, d\Lambda(f) > -\infty$ 를 만족할 경우, 스키프프로덕트 $\tau$ 에 대해 불변이며 에르고딕하다.
• 혼합 엔트로피 $h_{\alpha,\text{mix}}$ 는 $k\log d$ 와 일치하며, 이는 이론적 최대값이므로 $\alpha$ 가 혼합 엔트로피 최대 측도임을 증명한다.
• 리아풀로프 지수의 하한 $\log d / 2$ 는 체적 성장 추정과 $\epsilon/2$-분리된 점들의 수에 대한 코homological 하한을 이용한 모순 증명을 통해 확립된다.
• 프로젝션 부분공간 $R$ 내 $\epsilon/2$-분리된 점들의 수에 대한 상한 $N' \leq \frac{n^{d_u} d^{-d_u} d^{n d_u}}{C(d_u) (\epsilon/4)^{2d_u}}$ 는 $\lambda_l \geq \log d / 2$ 가 아닐 경우 모순을 일으키므로, 하이퍼볼리시티를 증명한다.
• 이 결과는 $d_u = 0$ 과 $d_u > 0$ 의 두 경우 모두에 대해 성립하며, 후자의 경우 그로모프의 방법과 코homological 차수 추정을 활용한 정교한 체적 추론이 필요하다.