[논문 리뷰] Endomorphisms and automorphisms of minimal symbolic systems with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 29.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부분선형 복잡도를 가진 최소 기호 시스템에 대해, 한쪽 방향 이동의 자기동형군은 유한하고, 양쪽 방향 이동의 자기동형군은 이동에 대해 모odulo하여도 유한하다는 것을 증명한다. 자기동형의 차수에 대한 명시적 상한을 제시하고, 선형적으로 반복되는 이동의 모든 준동형이 이동의 거듭제곱의 근임을 보이며, 기존의 슈트르미안 및 치환 이동에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We show that if the complexity difference function p(n+1)-p(n) of a infinite minimal shift is bounded, then the the automorphism group of the one-sided shift is finite, and the automorphism group of the corresponding two-sided shift "modulo the shift" is finite. For the minimal Sturmian and minimal substitution shifts, the bounds can be explicitly computed, and for linearly recurrent shifts, the bound can be expressed as a function of the linear recurrence constant. We also show that any endomorphism of a linearly recurrent shift is a root of a power of the shift map.

연구 동기 및 목표

• 부분선형 복잡도를 가진 최소 기호 시스템의 자기동형군의 유한성과 명시적 상한을 규명하는 것.
• 슈트르미안 및 치환 이동의 자기동형에 대한 기존 결과를 부분선형 복잡도를 가진 더 넓은 계열의 시스템으로 확장하는 것.
• 한쪽 방향 선형적으로 반복되는 이동의 준동형을 특성화하여, 이들이 이동 사상의 거듭제곱의 근임을 보이는 것.
• 지점의 분기점과 점점 수렴하는 궤도와 같은 구조적 불변량을 이용해 자기동형의 차수에 대한 계산 가능한 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 복잡도 차수 함수에 대한 캐사뉴의 결과를 사용하여 분기점과 오른쪽 점점 수렴하는 궤도의 수를 상한으로 제한한다.
• 레마 3.2와 3.3을 적용하여 자기동형이 특수 점들(분기점과 점점 수렴하는 궤도)에 대한 작용에 의해 결정됨을 보인다.
• 오른쪽 점점 수렴하는 궤도에 대해 관계 ∼를 정의하여 양쪽 방향 자기동형군 모odulo 이동을 분석한다.
• 상수 K를 가진 선형 반복성을 활용하여 자기동형의 차수에 대한 정량적 상한을 도출한다.
• 선형적으로 반복되는 이동의 준동형이 자기동형임을 알 수 있는 (Durand, 2000)의 결과를 활용하여, 두쪽 방향에서의 결과를 한쪽 방향 시스템으로 확장한다.
• 국소 규칙과 치환 식별 가능성을 사용하여 특정 예시를 분석하고 상한을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분선형 복잡도를 가진 최소 한쪽 방향 이동에서 자기동형의 최대 가능한 차수는 무엇인가?
• RQ2 분기점과 오른쪽 점점 수렴하는 궤도의 구조는 이동에 대해 모odulo된 자기동형군의 크기를 어떻게 제약하는가?
• RQ3 한쪽 방향 선형적으로 반복되는 이동의 준동형은 이동 사상의 거듭제곱의 근으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 반복 상수나 치환 구조에 기반하여 자기동형군 크기에 대해 어떤 명시적 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ5 준동형이 이동의 거듭제곱이 아니지만, 이동과 함께 유한 차수 관계를 만족하는 예시는 존재하는가?

주요 결과

• 부분선형 복잡도를 가진 최소 한쪽 방향 이동에 대해, 자기동형군은 유한하며, 그 차수는 최소한의 분기점 수 이하이다. 이는 모든 순서 k ≥ 2에 대해 성립한다.
• 양쪽 방향 버전에 대해, 자기동형군 모odulo 이동은 유한하며, 크기는 오른쪽 점점 수렴하는 궤도의 ∼-동치류 수 이하이다. 이는 모든 크기 k ≥ 2에 대해 성립한다.
• 반복 상수 K를 가진 선형적으로 반복되는 이동에 대해, 자기동형군의 크기는 한쪽 및 양쪽 방향 모두에서 2(K+1)(2K+3)² 이하로 상한이 주어진다.
• 한쪽 방향 선형적으로 반복되는 이동의 모든 준동형은 어떤 k ≤ 2(K+1)(2K+3)²에 대해 이동의 거듭제곱의 k제곱근이다.
• 이동의 거듭제곱이 아닌 준동형이 존재하며, 이는 Φ² = σ² 를 만족함을 보여, 상한을 더 이상 이동의 거듭제곱이 되도록 요구할 수 없음을 시사한다.
• k개의 문자로 구성된 원시 치환 이동에 대해, 자기동형군 모odulo 이동의 크기는 최대 k² 이며, 이는 일반 상한과 일치한다.