[논문 리뷰] Energy-based ghost force removing techniques for the quasicontinuum method

Ping Lin, Alexander V. Shapeev|ArXiv.org|2009. 09. 29.

Force Microscopy Techniques and Applications참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유사연속체(QC) 시뮬레이션에서 국소-비국소 경계에서 발생하는 유령력(ghost forces)을 제거하기 위해 에너지 기반 기법인 유사연속체 투영(QCP) 방법을 제안한다. QCP 방법은 원자적 자유도를 유한요소 유사 노드 프레임워크에 투영함으로써 이를 달성한다. QCP 방법은 QNL 및 GCR와 같은 기존 방법들과 비교해 유사하거나 더 높은 정확도를 달성하며, 동일한 계산 비용을 유지하면서도 오차는 낮거나 동일하며, 표준 유한요소 이론에 기반하고 자유 매개변수 없이 구현 및 분석이 더 간단하다.

ABSTRACT

This paper studies numerical methods for accurate treatment of the interface between the local and the nonlocal region in a QC approximation of atomistic materials. Only the energy-based methods are considered. Particularly, a quasicontinuum projection (QCP) method based on the idea of finite elements is shown to be accurate and efficient for this problem. We analyse the QCP method and study its relation to the existing methods, such as the quasinonlocal quasicontinuum method and the geometrically consistent reconstruction-based method. The analysis and the results of numerical tests confirm that the projection-based QC method successfully removes the ghost force with the same computational cost as the other methods. In all computed examples the error of QCP is either the same or lower as the error of the other methods. The performance of these methods in treating interfaces of elements in the local region is also examined.

연구 동기 및 목표

• 유사연속체(QC) 방법에서 국소-비국소 경계에서 지속적인 문제로 남아 있는 유령력 문제를 해결함으로써, 원자-연속체 다스케일 시뮬레이션의 정확도를 향상시키는 것.
• 유령력 제거를 위해 에너지 기반 방법을 개발함으로써, 임의의 힘을 도입하거나 에너지 보존 법칙을 위반하지 않는 것.
• 특히 캐비-본 외삽법에 의한 경계 오차가 더 두드러지는 2차원 케이스에서 QC 시뮬레이션의 정확도를 향상시키는 것.
• 기존의 GCR와 같은 접근 방식보다 자유 매개변수 없이 표준 유한요소 개념에 기반하여 더 쉽게 구현하고 분석할 수 있는 방법을 제공하는 것.
• QCP 방법이 QNL 및 GCR와 같은 최첨단 방법에 비해 수렴 속도와 오차 수준에서 동등하거나 이를 초월하는 성능을 보임을 보여주는 것.

제안 방법

• QCP 방법은 원자적 자유도를 노드 포인트에 투영하는 유한요소 유사 프레임워크를 사용하여 일관된 에너지 기반 수식을 가능하게 한다.
• 비노드 원자 위치를 노드 원자 위치의 선형 조합으로 표현하여 전체 시스템의 잠재 에너지를 수식화함으로써 에너지 일관성을 확보한다.
• 투영된 에너지에 변분 원리를 적용하여 힘과 강성 행렬을 유도함으로써 경계에서의 유령력을 피한다.
• 국소 영역에서 캐비-본 외삽법을 회피함으로써 가장자리 및 경계 오차를 감소시키며, 특히 외부 영향이 느리게 감쇠되는 2차원 영역에서 유리하다.
• QCPm 변종은 효율성을 위해 국소 영역에서 캐비-본 외삽법을 허용하면서도 경계 정확도를 유지한다.
• 이 방법은 유한요소 이론에 수학적으로 기반하여 근사 오차 이론을 통한 수렴 분석이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 기반 방법이 QC 시뮬레이션의 국소-비국소 경계에서 유령력을 효과적으로 제거할 수 있는가, 동시에 유령력 외의 힘을 유발하지 않고 에너지 보존 법칙을 위반하지 않는가?
• RQ2 1차원 및 2차원 시험 케이스에서 QCP 방법은 QNL 및 GCR 방법에 비해 정확도와 계산 비용 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 국소 영역에서 캐비-본 외삽법을 회피함으로써 경계 오차가 현저히 감소하는가, 특히 2차원에서 외부 영향이 느리게 감쇠되는 경우에 그렇다면?
• RQ4 자유 매개변수가 없고 표준 유한요소 개념에 기반함으로써 QCP 방법은 GCR에 비해 더 쉽게 구현하고 분석할 수 있는가?
• RQ5 비균일 격자 구조를 가진 복잡한 재료, 예를 들어 금속 합금 등에 대해 QCP 방법을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• QCP 방법은 QCE, QNL 및 GCR 방법과 동일한 계산 비용을 유지하면서도 국소-비국소 경계에서의 유령력을 성공적으로 제거하였다.
• 모든 수치적 예제에서 QCP 방법의 오차는 QCE 및 QNL보다 같거나 낮았으며, 2차원 케이스에서는 GCR와 유사하거나 낮았다.
• QCP 방법은 자유도(Degree of Freedom, DoF) 증가에 따라 안정적인 오차 감소를 보였으며, QCE 및 QNL는 0으로 수렴하지 못했다.
• 2차원 시뮬레이션에서 QCP 방법은 캐비-본 외삽법을 사용하는 방법들보다 더 뛰어난 성능을 보였는데, 특히 외부 영향이 느리게 감쇠되는(1/r로 감쇠) 영역에서 가장자리 및 경계 오차가 감소했기 때문이다.
• QCP 방법은 특정 GCR 방법의 한 예와 수학적으로 동치이지만, 사전 계산된 복원 계수나 경계 거리 계산이 필요 없어 더 쉽게 구현하고 분석할 수 있다.
• QCPm 변종은 국소 영역에서 캐비-본 외삽법을 사용함으로써 GCR와 거의 동일한 결과를 도출하지만, 더 향상된 구현 가능성과 일반화 능력을 제공한다.