[논문 리뷰] Energy conservation via a combination of velocity and its gradient in the Navier-Stokes system

Yan Qing Wang, Yulin Ye|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 02.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 르베그 공간에서 속도와 그 공간 도함수를 조합하여 비압축성 및 압축성 라우지-스토크스 방정식에 대한 통합된 에너지 보존 기준을 수립한다. 속도와 그 도함수가 특정 적분 가능성 조건을 만족할 경우 에너지 등식이 성립함을 증명하며, 이는 비압축성 및 압축성 유동에 대한 이전 결과들을 확장하고 통합한다.

ABSTRACT

In the spirit of recent work \cite{[NNT]},it is shown that $v\in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^{3})) $ and $ abla v\in L^{p}(0,T; L^{q}(\mathbb{T}^{3})) $ imply the energy equality in homogeneous incompressible Navier-Stokes equations and together with bounded density with positive lower bound yields the energy conservation in the general compressible Navier-Stokes equations. This unifies the known energy conservation criteria via the velocity and its gradient in incompressible Navier-Stokes equations. This also helps us to extend the conditions via the velocity or gradient of the velocity for energy equality from the incompressible fluid to compressible flow and improves the recent results due to Nguyen-Nguyen-Tang \cite[Nonlinearity 32 (2019)]{[NNT]} and Liang \cite[Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (2020)]{[Liang]}.

연구 동기 및 목표

• 속도와 그 도함수에 기반한 기존 비압축성 라우지-스토크스 방정식의 에너지 보존 기준을 통합하기 위해.
• 양의 하한이 있는 유한한 밀도 조건 하에서 이 기준을 압축성 라우지-스토크스 방정식으로 확장하기 위해.
• Nguyen-Nguyen-Tang (2019) 및 Liang (2020)의 최근 결과를 개선하여 에너지 등식 조건을 제시하기 위해.
• 르베그 공간에서 속도와 그 도함수의 공동 정규성에 기반한 에너지 보존을 위한 일반적 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 르베그 공간의 적분 가능성 조건을 사용: $ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ 및 $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $.
• 기능적 해석 기법을 적용하여 이러한 적분 가능성 가정에서 에너지 등식을 도출한다.
• 양의 하한이 있는 유한한 밀도를 포함함으로써 비압축성 프레임워크를 압축성 유동으로 확장한다.
• 보간 및 임bedding 정리들을 활용하여 속도와 도함수의 정(regularity)을 에너지 보존과 연결한다.
• 수학적 폐쇄를 보장하기 위해 주기적 영역 $ \mathbb{T}^3 $ 에서 라우지-스토크스 방정식의 구조에 의존한다.
• 이전 연구들(예: [NNT], [Liang])의 결과를 하나의 일관된 기준으로 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도와 그 도함수의 정규성 조건을 통합한 단일 조건이 비압축성 라우지-스토크스 방정식의 기존 에너지 보존 기준을 통합할 수 있는가?
• RQ2 에너지 보존 기준은 비압축성에서 압축성 라우지-스토크스 유동으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 유한한 밀도를 가진 압축성 경우에서 속도와 그 도함수에 대한 어떤 적분 가능성 조건이 에너지 등식을 보장하는가?
• RQ4 속도와 그 도함수의 공동 정규성이 이전의 개별 기준에 비해 어떤 방식으로 향상되는가?
• RQ5 양의 하한이 있는 유한한 밀도의 포함이 압축성 유동에서 에너지 보존에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비압축성 라우지-스토크스 방정식에서 $ v \in L^{\frac{2p}{p-1}}(0,T; L^{\frac{2q}{q-1}}(\mathbb{T}^3)) $ 및 $ \nabla v \in L^p(0,T; L^q(\mathbb{T}^3)) $ 를 만족할 경우 에너지 등식이 성립한다. 이때 $ p, q $ 는 적절한 값이다.
• 동일한 조건에 더하여 밀도가 양의 하한을 가지며 유한한 경우, 압축성 라우지-스토크스 방정식에서도 에너지 보존이 보장된다.
• 제안된 기준은 Nguyen-Nguyen-Tang 및 Liang의 이전 결과를 통합하고 일반화한다.
• 이 프레임워크는 에너지 보존 기준의 적용 가능성을 비압축성 유동에서 압축성 유체 유동으로 확장한다.
• 결과적으로 속도와 그 도함수의 공동 정규성이 압축성 존재 조건이 있더라도 에너지 보존을 위한 충분조건임을 보여준다.