[논문 리뷰] Energy conserving nonholonomic integrators

Jorge Cortés|ArXiv.org|2002. 09. 24.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비자율 시스템에 대해 이산화된 라그랑주-다얼멘베르 원리를 통해 비선형 제약 조건을 갖는 이산 역학을 확장함으로써 에너지 보존 비선형 적분기를 제안한다. 이 방법은 변동하는 시간 간격을 허용함으로써 고정된 시간 간격을 사용하는 기존의 이론적 장벽을 극복하며, 변분 적분기를 통해 심플렉틱 구조, 비선형 운동량, 에너지를 동시에 보존한다.

ABSTRACT

We address the problem of constructing numerical integrators for nonholonomic Lagrangian systems that enjoy appropriate discrete versions of the geometric properties of the continuous flow, including the preservation of energy. Building on previous work on time-dependent discrete mechanics, our approach is based on a discrete version of the Lagrange-d'Alembert principle for nonautonomous systems.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 흐름의 핵심 기하적 성질을 유지하는 비선형 라그랑주 시스템을 위한 수치 적분기를 구성하는 데 도전한다.
• 고정된 시간 간격을 사용하는 변분 적분기가 동시에 에너지, 심플렉틱성, 운동량을 보존할 수 없다는 이론적 장벽을 극복한다.
• 비자율 비선형 제약 조건을 갖는 시스템에 대해 라그랑주-다얼멘베르 원리의 이산화된 형태를 개발하여 에너지 보존을 가능하게 한다.
• 결과적으로 유도된 적분기가 이산화된 심플렉틱 구조 진화와 비선형 운동량 보존을 그대로 이어받도록 보장한다.
• 특히 자율 시스템에서 이산 에너지가 보존되는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 비자율 비선형 제약 조건을 갖는 시스템에 대해 확장된 구성 공간 $\overline{Q} = \mathbb{R} \times Q$ 상에서 비자율 비선형 제약 조건을 갖는 이산화된 라그랑주-다얼멘베르 원리를 수립한다.
• 시간 진동과 제약 조건을 포함한 $\overline{Q} \times \overline{Q}$ 상에서 확장된 이산 라그랑지안 $L_d$ 를 정의한다.
• 이산화된 확장된 라그랑주-다얼멘베르(EDLA) 방정식을 적분기 역학의 변분 원리로 유도한다.
• 고정된 시간 간격에서 에너지-심플렉틱성-운동량 보존이 이론적으로 불가능한 것을 피하기 위해 변동하는 시간 간격을 도입한다.
• 대칭성이 존재할 경우 EDLA 방정식에 대해 축소 이론을 적용하여 축소된 확장된 이산 라그랑주-다얼멘베르(REDLA) 방정식을 유도한다.
• 지역 접속 형식 $\mathcal{A}_{\text{loc}}$ 를 사용해 번들의 좌표계에서 힘을 표현함으로써 대칭적인 설정에서의 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 시스템에 대한 이산 적분기가 동시에 에너지, 심플렉틱 구조, 운동량을 보존할 수 있는가?
• RQ2 변동하는 시간 간격은 비선형 시스템의 변분 적분기에서 에너지 보존을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 비자율 시스템에 비선형 제약 조건이 존재할 경우 이산 라그랑주-다얼멘베르 원리는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 유도된 적분기가 심플렉틱성과 운동량 맵에 관해 어떤 기하적 성질을 물려받는가?
• RQ5 비선형 제약 조건 하에서 이산 에너지가 언제 보존되는가?

주요 결과

• 제안된 확장된 이산 라그랑주-다얼멘베르(EDLA) 적분기는 심플렉틱 형식과 비선형 운동량 맵을 보존하여 기하학적 충실도를 확보한다.
• 이산 라그랑지안과 제약 조건이 시간 이동에 대해 불변일 경우, 즉 자율 시스템에서 이산 에너지가 보존된다.
• 이산 에너지 $E_{L_d}^+$ 는 흐름을 따라 일정하게 유지된다: $E_{L_d}^+(t_k, q_k, t_{k+1}, q_{k+1}) = E_{L_d}^+(t_{k-1}, q_{k-1}, t_k, q_k)$, 제4의 정리에서 보여진 lin.
• 변동하는 시간 간격을 허용함으로써 이론적 장벽(정리 1)을 극복하여 에너지, 심플렉틱성, 운동량을 동시에 보존할 수 있다.
• 대칭 시스템에 대해 축소된 EDLA 방정식(REDLA)이 유도되었으며, 힘은 지역 접속 형식 $\mathcal{A}_{\text{loc}}$ 를 통해 표현된다.
• 적분기가 축소된 방정식의 해 위로 사영됨을 보여주어 대칭적 구성에서의 일致성을 확보한다.