[논문 리뷰] Energy-optimal strokes for multi-link microswimmers: Purcell's loops and Taylor's waves reconciled

Alouges, Fran\c{c}ois, Antonio DeSimone외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Micro and Nano Robotics참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소규모 진동에서 N-링크 미크로수영자에 대한 에너지 최적의 스트로크를 수립하여, 최적의 스트로크가 관절각 공간에서 평면 타원임을 보이며, N이 클수록 진행파로 수렴함을 밝힌다. 더 큰 변위에서는 수치적 해법을 통해 비평면적이고 복잡한 고리 형태의 스트로크를 발견하였으며, 기하학적 제어 이론과 최적 제어 최적화를 통해 푸르셀의 고리 기반 및 테일러의 파동 기반 수영 이론을 통합한다.

ABSTRACT

Micron-scale swimmers move in the realm of negligible inertia, dominated by viscous drag forces. In this paper, we formulate the leading-order dynamics of a slender multi-link (N-link) microswimmer assuming small-amplitude undulations about its straight configuration. The energy-optimal stroke to achieve a given prescribed displacement in a given time period is obtained as the largest eigenvalue solution of a constrained optimal control problem. Remarkably, the optimal stroke is an ellipse lying within a two-dimensional plane in the (N-1)-dimensional space of joint angles, where N can be arbitrarily large. For large N, the optimal stroke is a traveling wave of bending, modulo edge effects. If the number of shape variables is small, we can consider the same problem when the prescribed displacement in one time period is large, and not attainable with small variations of the joint angles. The fully nonlinear optimal control problem is solved numerically for the cases N=3 (Purcell's three-link swimmer) and N=5 showing that, as the prescribed displacement becomes small, the optimal solutions obtained using the small-amplitude assumption are recovered. We also show that, when the prescribed displacements become large, the picture is different. For N=3 we recover the non-convex planar loops already known from previous studies. For N=5 we obtain non-planar loops, raising the question of characterizing the geometry of complex high-dimensional loops.

연구 동기 및 목표

• 미세수영에서 두 주요 이론을 통합하기 위해: 폐쇄 고리 형태의 비상호작용 형태 변화(Purcell)와 진행파(Taylor)를 통합한다.
• 소규모 진동에서 긴 다중링크 미크로수영자에 대한 에너지 최적 스트로크를 규명한다.
• N=3 및 N=5 수영자에 대해 대규모 진동, 완전히 비선형 스트로크로 분석을 확장한다.
• 특히 N≥5일 때 고차원 형태 공간에서 최적 스트로크의 기하학적 구조를 특성화한다.
• 큰 N의 극한에서 이동 거리 및 에너지 소모의 척도 법칙을 유도한다.

제안 방법

• 저항력 이론과 소규모 진동 근사법을 사용하여 N-링크 미크로수영자의 주요 동역학을 수립한다.
• 한 주기 동안 정해진 이동 거리에 대해 에너지 소모를 최소화하는 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 해결한다.
• 최적 스트로크를 관절각 변화의 이차형식에서 최대 고유값 해로 식별한다.
• 기하학적 제어 이론을 활용하여 최적 스트로크가 (N-1)차원 관절각 공간 내 2차원 평면에 존재함을 보여준다.
• N=3 및 N=5에 대해 완전히 비선형 최적 제어 문제를 수치적으로 해결하기 위해 Bocop 최적화 도구상자를 사용한다.
• 고정된 진폭과 단계 차이를 가진 진행파 자세를 사용하여 큰 N 근처에서 이동 거리 및 에너지의 척도 법칙을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소규모 진동 작동 조건에서 다중링크 미크로수영자의 에너지 최적 스트로크의 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ2 지정된 이동 거리가 증가함에 따라 최적 스트로크가 평면 타원에서 복잡한 비평면 고리 형태로 어떻게 전이되는가?
• RQ3 소규모 진동 결과가 작은 이동 거리에서 완전히 비선형 해와 얼마나 수렴하는가?
• RQ4 큰 N 근처에서 이동 거리 및 에너지 소모의 척도 법칙은 무엇인가?
• RQ5 N≥5에 대해 최적 스트로크 기하학은 평면형 또는 파동형 외의 형태로 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 소규모 진동 스트로크의 경우, 어떤 N이든 간에 (N-1)차원 관절각 공간에서 평면 타원 형태의 에너지 최적 자세를 취한다.
• N이 증가함에 따라 최적 스트로크는 중심에서 끝으로 대칭적으로 진폭이 감소하는 굽힘 진행파로 점차 수렴한다.
• 큰 지정 이동 거리에서 3링크 수영자의 최적 스트로크는 비볼록 평면 고리 형태가 되며, 이는 이전 결과와 일치한다.
• 5링크 수영자에서는 최적 스트로크가 비평면적이며, 복잡한 고차원 기하학적 구조를 보이며, 최적 자세에 새로운 구조적 특징을 시사한다.
• 지정 이동 거리가 작을 경우, 소규모 진동 해와 완전히 비선형 해가 동일한 평면 타원으로 수렴한다.
• 척도 법칙에 따르면, 큰 N에서 이동 거리는 ε²l 비례하고, 에너지 소모는 ε²Nl³/T 비례하며, 고정된 링크 길이에서 에너지 소모는 N에 대해 선형적으로 증가한다.