[논문 리뷰] Energy-preserving fully-discrete schemes for nonlinear stochastic wave equations with multiplicative noise

Jialin Hong, Baohui Hou외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 31.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 36인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 공간에 대해 복합 유한차분(CFD) 또는 내부 페널티 불연속 갈레르킨(IPDG) 방법을, 시간에 대해 이산 기울기 방법과 패드 근사법을 조합하여 비선형 다중성 소음이 있는 확률적 파동 방정식에 대해 에너지 보존 완전 이산형 스킴을 제안한다. 주요 기여는 다중성 소음이 존재하는 상황에서도 해밀토니안 에너지의 이산 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유지한다는 것을 이론적으로 증명한 것이다. 수치 실험을 통해 선형 에너지 성장과 일차 시간 수렴성을 확인하였다.

ABSTRACT

In this paper, we focus on constructing numerical schemes preserving the averaged energy evolution law for nonlinear stochastic wave equations driven by multiplicative noise. We first apply the compact finite difference method and the interior penalty discontinuous Galerkin finite element method to discretize space variable and present two semi-discrete schemes, respectively. Then we make use of the discrete gradient method and the Pad\'e approximation to propose efficient fully-discrete schemes. These semi-discrete and fully-discrete schemes are proved to preserve the discrete averaged energy evolution law. In particular, we also prove that the proposed fully-discrete schemes exactly inherit the averaged energy evolution law almost surely if the considered model is driven by additive noise. Numerical experiments are given to confirm theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 다중성 소음에 의해 구동되는 비선형 확률적 파동 방정식에 대해 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유지하는 완전 이산형 수치 스킴을 개발한다.
• 다중성 소음 하에서 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유전하는 기존의 완전 이산형 스킴 부족 문제를 해결한다.
• 고차원 공간 이산화(CFD 또는 IPDG)를 이산 기울기 및 패드 근사를 통한 에너지 보존 시간 적분과 조합한다.
• 제안된 스킴이 이론적으로도 수치적으로도 이산 평균 에너지 진화 법칙을 유지함을 증명한다.
• f(u) = sin(u), f(u) = u^3, g(u) = 1, sin(u), u를 사용한 테스트 문제를 통해 스킴을 수치적으로 검증한다.

제안 방법

• 확률적 파동 방정식을 공간에 대해 복합 유한차분(CFD) 방법과 내부 페널티 불연속 갈레르킨(IPDG) 유한요소 방법을 적용하여 반디스크리트 확률미분방정식으로 변환한다.
• 비선형 드리프트 항 처리를 위해 이산 기울기 방법을, 확산 항 처리를 위해 패드 근사를 시간에 적용하여 에너지 보존을 보장한다.
• 유도된 완전 이산형 스킴이 다중성 소음 및 가산성 소음 모두에 대해 이산 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유지함을 증명한다.
• 가산성 소음의 경우, 스킴이 거의 확실히 평균 에너지 진화 법칙을 유지함을 보여준다.
• 공간 및 시간 이산화 방법의 조합에 기반하여 여섯 가지 수치 스킴(CFD-I, CFD-II, CFD-CNM, DG-I, DG-II, DG-CNM)을 구성한다.
• f(u) = sin(u), f(u) = u^3, g(u) = 1, sin(u), u를 사용한 테스트 문제를 통해 에너지 진화 및 수렴 속도를 비교하여 스킴을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 소음이 있는 비선형 확률적 파동 방정식에 대해 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유지하는 완전 이산형 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 복합 유한차분 및 내부 페널티 불연속 갈레르킨 방법이 공간 이산화에 사용되었을 때 이산 평균 에너지 보존 성능은 어떠한가?
• RQ3 시간에 대해 이산 기울기 방법과 패드 근사를 조합하면 완전 이산 설정에서 에너지 보존이 보장되는가?
• RQ4 제안된 스킴은 이론적으로 예측한 바와 같이 선형 에너지 성장과 일차 수렴성을 유지하는가?
• RQ5 기본적인 스킴들(C-N 및 BEM)과 비교해 볼 때 제안된 스킴은 평균 에너지 진화 법칙을 얼마나 잘 유지하는가?

주요 결과

• CFD 또는 IPDG를 공간에, 이산 기울기 및 패드 근사를 시간에 적용한 제안된 완전 이산형 스킴은 다중성 소음이 있는 비선형 확률적 파동 방정식에 대해 이산 평균 에너지 진화 법칙을 정확히 유지한다.
• 가산성 소음(g(u) = 상수)의 경우, 스킴은 거의 확실히 평균 에너지 진화 법칙을 유지함으로써 이론적 일관성을 확인한다.
• 수치 실험 결과, CFD-I, CFD-II, DG-I, DG-II 스킴은 정확한 해와 일치하는 선형 평균 에너지 성장을 보이며 에너지 보존을 확인한다.
• 반면, CFD-CNM 및 DG-CNM 스킴은 평균 에너지 진화 법칙을 유지하지 못하며 비선형적이고 더 빠른 에너지 성장을 보인다.
• CFD-I, CFD-II, CFD-CNM, DG-I, DG-II, DG-CNM의 여섯 스킴 모두에서 오차 대 스텝 크기의 로그-로그 플롯을 통해 시간 수렴 차수는 약 일차이다.
• g(u) = u일 경우 평균 에너지 성장 속도가 g(u) = sin(u)일 경우보다 빠르며, 이는 가산성 소음의 이론적 성장률 λ²/2 Tr(Q)와 일치한다.