[논문 리뷰] Enhancing Quantum Algorithms for Quadratic Unconstrained Binary Optimization via Integer Programming

F. Wagner, Jonas Nüßlein외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중 최대 컷 문제를 위한 하이브리드 양자-고전적 히ュ리스틱을 제안하며, 선형 프로그래밍 타월화와 QAOA를 조합하여 문제 크기를 축소하고 근접한 양자 하드웨어에서 해의 질을 향상시킨다. 최적의 사이클 타월화 해를 통해 인스턴스를 축소하고 효율적인 QAOA 파라미터를 유도함으로써, 현재의 양자 하드웨어가 직접 처리할 수 없는 더 큰 MaxCut 인스턴스를 해결할 수 있게 되었으며, 실제 장치에서의 실험 결과는 개선된 근사 비율을 보였다.

ABSTRACT

To date, research in quantum computation promises potential for outperforming classical heuristics in combinatorial optimization. However, when aiming at provable optimality, one has to rely on classical exact methods like integer programming. State-of-the-art integer programming algorithms can compute strong relaxation bounds even for hard instances, but may have to enumerate a large number of subproblems for determining an optimum solution. If the potential of quantum computing realizes, it can be expected that in particular finding high-quality solutions for hard problems can be done fast. Still, near-future quantum hardware considerably limits the size of treatable problems. In this work, we go one step into integrating the potentials of quantum and classical techniques for combinatorial optimization. We propose a hybrid heuristic for the weighted maximum-cut problem or, equivalently, for quadratic unconstrained binary optimization. The heuristic employs a linear programming relaxation, rendering it well-suited for integration into exact branch-and-cut algorithms. For large instances, we reduce the problem size according to a linear relaxation such that the reduced problem can be handled by quantum machines of limited size. Moreover, we improve the applicability of QAOA, a parameterized quantum algorithm, by deriving optimal parameters for special instances which motivates a parameter estimate for arbitrary instances. We present numerous computational results from real quantum hardware.

연구 동기 및 목표

• 조합 최적화 문제에서 고전적 정수 프로그래밍과 근접한 양자 계산 간 격차를 메우기 위해.
• 현재의 양자 하드웨어가 대규모 최적화 문제를 처리하는 데 한계가 있음을 해결하기 위해.
• 가중 최대 컷 문제에 대해 문제에 특화된 효율적인 파라미터 추정치를 도출하여 QAOA의 적용 가능성을 높이기 위해.
• 최적의 변수 고정을 통해 문제 크기를 줄임으로써 양자 히ュ리스틱을 고전적 브랜치 앤 컷 프레임워크에 통합하기 위해.
• 선형 타월화를 통한 문제 축소가 해의 품질을 유지하면서도 양자 가속을 가능하게 함을 입증하기 위해.

제안 방법

• MaxCut 문제의 사이클 타월화를 사용하여 문제 축소를 위한 최적의 변수 상관관계를 계산한다.
• 사이클 타월화의 최적 해를 기반으로 변수를 고정하여 큰 MaxCut 인스턴스를 축소하며, 최적성은 유지한다.
• 축소된 문제는 정규 및 삼각형이 없는 그래프에 대해 분석적으로 유도된 파라미터를 사용해 QAOA로 해결한다.
• 일반적인 인스턴스에 대해 분석 결과를 바탕으로 한 파라미터 추정 전략을 제안하여 반복적 조정의 필요성을 줄인다.
• 축소된 해를 역으로 적용하여 원래 문제에 매핑한다.
• 기존의 브랜치 앤 컷 알고리즘에 쉽게 통합되도록 설계되어, 열거 단계를 양자 히ュ리스틱으로 대체한다.

(a) Instance a.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 프로그래밍 타월화를 사용해 큰 MaxCut 인스턴스를 최적성과 함께 축소시킬 수 있으며, 이로써 제한된 하드웨어에서의 양자 계산이 가능해지는가?
• RQ2 특히 가중 최대 컷 문제에 대해 반복적인 고전적 최적화 없이 QAOA 파라미터를 효율적으로 추정할 수 있는가?
• RQ3 최적의 축소 전략을 통해 사이클 타월화를 사용하면, 노이즈가 많은 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 QAOA 성능이 향상되는가?
• RQ4 문제 축소가 무작위 또는 비최적의 축소와 비교해 근사 비율을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 이 하이브리드 양자-고전 프레임워크는 브랜치 앤 컷과 같은 고전적 정확한 해법에 통합되어 어려운 조합 최적화 문제의 해결 속도를 높일 수 있는가?

주요 결과

• 사이클 타월화는 문제 축소를 위한 최적의 변수 상관관계를 제공하며, 해의 품질을 유지하고 원래 해를 정확히 복원할 수 있다.
• 실제 양자 하드웨어에서 QAOA는 축소를 적용했을 때 동전 뒷면 뒤집기 히ュ리스틱보다 성능이 뛰어나며, 특히 최적의 축소 전략을 사용할 경우 더욱 두드러진다.
• 최적의 상관관계를 사용할 경우 축소된 정점 수가 증가할수록 QAOA의 근사 비율이 향상되며, 문제 축소로 인한 성능 향상이 확인된다.
• 비최적의 축소 전략은 해 손실의 잠재성과 근사 가능성 향상 사이의 트레이드오프를 드러내며, 성능의 최적 영역이 존재함을 시사한다.
• 제안된 QAOA 파라미터 추정치는 고전적 조정의 부담을 크게 줄이며 실무에서 잘 작동함을 입증하여 하이브리드 워크플로우에 빠르게 통합할 수 있도록 한다.
• 이 방법은 현재의 양자 장치가 직접 처리할 수 있는 큐비트 용량보다 한 단계 큰 MaxCut 인스턴스를 성공적으로 해결하여, 확장성의 원칙적 증명을 보였다.

(b) Instance b.