[논문 리뷰] Enlargeability, foliations, and positive scalar curvature

Moulay-Tahar Benameur, James L. Heitsch|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적인 양의 스칼라 곡률(PSC) 메트릭에 대한 결과를 확장하여, Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 스피너 리만 다발이 존재할 수 없는 것으로 증명한다. 이는 확대 가능한 다발 위에서 이루어지며, PSC 메트릭에 대한 경계를 리만 다발의 리만 K-영역을 통해 설정하고, Connes의 소멸 정리가 Haefliger 코homology 계열으로 일반화되어, 기하학적 및 위상수학적 차단 조건을 리만 다발 설정에서 통합한다.

ABSTRACT

We extend the deep and important results of Lichnerowicz, Connes, and Gromov-Lawson which relate geometry and characteristic numbers to the existence and non-existence of metrics of positive scalar curvature (PSC). In particular, we show: that a spin foliation with Hausdorff homotopy groupoid of an enlargeable manifold admits no PSC metric; that any metric of PSC on such a foliation is bounded by a multiple of the reciprocal of the foliation K-area of the ambient manifold; and that Connes' vanishing theorem for characteristic numbers of PSC foliations extends to a vanishing theorem for Haefliger cohomology classes.

연구 동기 및 목표

• 확대 가능한 스피너 다발에서 PSC 메트릭의 비존재를 스피너 리만 다발과 Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 경우로 일반화한다.
• 환경 다발의 리만 K-영역을 기반으로 하여, 이러한 리만 다발의 스칼라 곡률에 대한 정량적 경계를 설정한다.
• 특성 수치에 대한 Connes의 소멸 정리를 PSC 리만 다발의 맥락에서 Haefliger 코homology 계열로 일반화한다.
• 스칼라 곡률을 차단하는 새로운 예를 제공한다: 비-스피너이지만 확대 가능한 다발이며, 비자명한 리만 다발을 가진다.
• 비자명한 홀로노미 군자료를 가진 리만 다발의 맥락에서 지수이론적 장애와 기하학적 장애를 통합한다.

제안 방법

• Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 리만 다발의 지수 이론을 활용하며, Heitsch-Lawson 및 Hilsum의 작업을 바탕으로 한다.
• 모든 덮개에서 $\epsilon$-수축 사상에 의한 확대 가능성의 개념을 적용하여, Gromov-Lawson 기법을 리만 다발 설정으로 확장한다.
• PSC 메트릭에 대한 기하학적 장애로 리만 K-영역 불변량을 도입하며, 스칼라 곡률의 상한을 제시한다.
• Connes의 순환 코hom로와 홀로노미-등변 범주를 사용하여 Haefliger 코homology에서 특성 계열을 정의한다.
• 리만 다발의 Atiyah-Singer 지수 정리와 Lichnerowicz 공식을 사용하여 곡률과 스펙트럼 불변량을 연결한다.
• 대칭 공간 위의 군 작용과 궤도 리만 다발을 통한 구체적 예를 구성하며, Hausdorff 군자료와 확대 가능성 보장

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확대 가능한 스피너 다발에서 PSC 메트릭의 비존재는 Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 스피너 리만 다발로 확장될 수 있는가?
• RQ2 확대 가능한 다발 위의 PSC 리만 다발의 스칼라 곡률을 제한하는 기하학적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 특성 수치에 대한 Connes의 소멸 정리는 PSC 리만 다발의 맥락에서 Haefliger 코homology 계열로 일반화되는가?
• RQ4 비-스피너이지만 $\hat{A}(M) = 0$인 확대 가능한 다발에서, 리만 다량 지수 이론을 통해 여전히 PSC 리만 다발을 차단하는가?
• RQ5 비자명한 2차 특성 계열을 가진 리만 다발을 확대 가능한 다발 위에 구성할 수 있는가, 동시에 호모토피 군자료의 Hausdorff 성질을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 스피너 리만 다발을 가진 확대 가능한 다발은 양의 스칼라 곡률 메트릭을 지닐 수 없다.
• 이러한 리만 다발 위의 PSC 메트릭은 환경 다발의 리만 K-영역의 역수의 배수로 상한이 제한된다.
• Connes의 특성 수치에 대한 소멸 정리는 Haefliger 코homology 계열으로 일반화된다: 스피너 리만 다발이 PSC 메트릭을 지닐 경우, 모든 이러한 계열은 소멸한다.
• 리만 K-영역은 리만 다량 설정에서 PSC 메트릭의 존재를 막는 새로운 기하학적 불변량을 제공한다.
• 비-스피너이지만 확대 가능한 다발이며 $\hat{A}(M) = 0$인 경우, Hausdorff 호모토피 군자료를 가진 스피너 리만 다발이 여전히 PSC 메트릭을 지닐 수 없다는 예가 존재한다.
• $H^{4k-1}(M;\mathbb{R})$ 내의 2차 특성 계열은 비영일 수 있으며, 선형 독립일 수 있어, $\hat{A}$-유전자의 초월적인 코homology 장애의 풍부함을 보여준다.